Pré-Vestibular ⇒ (Mauá-SP) Geometria Analítica Tópico resolvido

[micro]

Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados do triângulo são: M(-2. 1) N(5,2) P(2,-3)

minha dúvida é:
preciso fazer o esboço ?
No caderno preciso usar régua e traçar perfeitamente as coordenadas no esboço ou é frescura, basta uma figura representativa fora de escala?

preciso saber geometria plana como baricentro,traçar todas as medianas e desenhar o triângulos baseado nisso?

, sou obrigado a estudar geometria plana também?

[tex3]obrigado[/tex3]

Resposta

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A(-5,-4) B(9,-2) C(1,6)

[theblackmamba]

Não precisa de desenho, vamos usar a algebra:

Suponha que os vértices do triângulo sejam A, B e C e os pontos M, N e P referentes aos lados AB, AC e BC, respectivamente.

O ponto médio é a média aritmética dos pontos, assim temos (usando os pontos entre A e B):

[tex3]M_x = \frac{A_x + B_x}{2}[/tex3]
[tex3]A_x + B_x = 2.(-2) = -4[/tex3] (i)

[tex3]M_y = \frac{A_y + B_y}{2}[/tex3]
[tex3]A_y + B_y = 2.(1) = 2[/tex3] (ii)

Fazendo a mesma coisa com os pontos A e C:

[tex3]A_x + C_x = 2.5 = 10[/tex3] (iii)
[tex3]A_y + C_y = 2.2 = 4[/tex3] (iv)

Com os pontos B e C:

[tex3]B_x + C_x = 2.2 = 4[/tex3] (v)
[tex3]B_y + C_y = 2.(-3) = -6[/tex3] (vi)

Fazendo (i) em (v):

[tex3](-4 - A_x) + C_x = 4[/tex3] (vii), agora vamos fazer (iii) em (vii)
[tex3]-A_x - 4 + (10 - A_x) = 4[/tex3]
[tex3]-2A_x = -2 \rightarrow \boxed{A_x = 1}[/tex3]

Daí tiramos que:

[tex3]\boxed{B_x = -5}[/tex3]
[tex3]\boxed{C_x = 9}[/tex3]

Agora fazendo o mesmo processo para descobrir a ordenada: (ii) em (vi):

[tex3](2 - A_y) + C_y = -6[/tex3](viii), , agora (iv) em (viii):
[tex3]2 - A_y + 4 - A_y = -6[/tex3]
[tex3]-2A_y = -12 \rightarrow \boxed{A_y = 6}[/tex3]

Dai tiramos que:
[tex3]\boxed{B_y = -4}[/tex3]
[tex3]\boxed{C_y = -2}[/tex3]

Logo, os pontos serão:

[tex3]\boxed{A(1,6); \,B(-5,-4);\,C(9,-2)}[/tex3]

Na hora da prova é importante fazer um bom esboço pois lhe daria uma noção se estaria coerente o desenho do triângulo e o enunciado. E certamente você ganharia mais pontos na resolução da prova.

Bom, apenas achei este jeito para fazer, se tiverem outro jeito postem aqui. Abraço.

[micro]

consegui chegar nesse sistema de equações de 6 incógnitas, tentei usar o método da adição para resolver e deu errado, provavelmente porque tentei fazer é somar todas as equações ao mesmo tempo.

devido ao tamanho do problema fiquei com preguiça de procurar o erro. minha dificuldade está em resolver sistemas do primeiro grau com 3 ou mais incógnitas. O ruim de estudar matemática é que exige o domínio absoluto das matérias anteriores, sendo que meu conhecimento é superficial, e acaba me travando toda hora que tento estudar as matérias. é triste