Olimpíadas ⇒ (EUA - 1992) - Trigonometria Tópico resolvido

[theblackmamba]

Mostre que:

[tex3]\frac{1}{\cos(0^{\circ})\cdot\cos(1^{\circ})} + \frac{1}{\cos(1^{\circ})\cdot\cos(2^{\circ})} + ... + \frac{1}{\cos(87^{\circ}) \cdot\cos(88^{\circ})} + \frac{1}{\cos(88^{\circ})\cdot\cos(89^{\circ})} = \frac{\cos(1^{\circ})}{\text{sen}^2(1^{\circ})}[/tex3]

[micro]

isso nao é integral, matéria do ensino superior?

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Temos,
[tex3]S=\sum\limits_{n=0}^{88}\frac{1}{{cos(n)}{cos(n+1)}}[/tex3]

Usando fração parcial,
[tex3]\frac{1}{{cos(n)}{cos(n+1)}}=\frac{A}{cos(n)}+\frac{B}{cos(n+1)}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]A{cos(n+1)}+B{cos(n)}=1[/tex3]

Abrindo o cosseno e juntando as partes,
[tex3](Acos(1)+B)(cos(n))+(-Asin(1))(sin(n))=1[/tex3]

Relembrando que,
[tex3]sin^{2}(n)+cos^{2}(n)=1[/tex3]

Desta forma encontramos,
[tex3]-Asin(1)=sin(n)[/tex3]
[tex3]A=-\frac{sin(n)}{sin(1)}[/tex3]

Substituindo o valor de A encontramos,
[tex3]B=\frac{\sin(n+1)}{\sin(1)}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]S=\sum_{n=0}^{88}\frac{-sin(n)}{cos(n)sin(1)}+\frac{sin(n+1)}{cos(n+1)sin(1)}[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{\sin(1)}\sum_{n=0}^{88}\tan(n+1)-\tan(n)[/tex3]

Que é uma soma telescópica,
[tex3]S=\frac{1}{\sin(1)}\sum_{n=0}^{88}\tan(n+1)-\tan(n)=\frac{1}{\sin(1)}(tan(89)-tan(0))=\frac{tan(89)}{sin(1)}[/tex3]
[tex3]S=\frac{sin(89)}{sin(1)cos(89)}=\frac{cos(1)}{sin^2(1)}[/tex3]. C.Q.D

Abraço.