Olimpíadas ⇒ Hong Kong (2000) - Trigonometria Tópico resolvido

[theblackmamba]

Questão retirada do livro: Problemas selecionados de Matemática (Marcilio Miranda-Vol. 1)

Se [tex3]\frac{cos(1^{\circ}) + cos(2^{\circ}) + ... + cos(43^{\circ}) + cos(44^{\circ})}{sin(1^{\circ}) + sin(2^{\circ}) + ... + sin(43^{\circ}) + sin(44^{\circ})}[/tex3] [tex3]= a + b \sqrt{c}[/tex3] calcule a, b e c.

Resposta

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[tex3]a = -1; \,b = 1; \, c = 2[/tex3]

Obrigado.
Abraço.

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Sabendo que,
[tex3]\sum_{k=1}^n cos(kx)=\cos\(\frac{(n+1)x}{2}\)\(\frac{\sin\(\frac{nx}{2}\)}{\sin\(\frac{x}{2}\)}\)^*[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^n sin(kx)=\sin\(\frac{(n+1)x}{2}\)\(\frac{\sin\(\frac{nx}{2}\)}{\sin\(\frac{x}{2}\)}\)^*[/tex3]

Para [tex3]n=44[/tex3] e [tex3]x=1[/tex3] temos,
[tex3]S=\frac{\cos\(\frac{(44+1)}{2}\)\(\frac{\sin\(\frac{44}{2}\)}{\sin\(\frac{1}{2}\)}\)}{\sin\(\frac{(44+1)}{2}\)\(\frac{\sin\(\frac{44}{2}\)}{\sin\(\frac{1}{2}\)}\)}=cot\(\frac{45}{2}\)=1+\sqrt{2}[/tex3]

Portanto,
[tex3]a=1[/tex3]
[tex3]b=1[/tex3]
[tex3]c=2[/tex3]

* Demonstração.

[tex3]S=cis(x)+cis(2x)+cis(3x)+...+cis(nx)[/tex3]

Seja [tex3]z=cis(x)[/tex3] assim temos,

[tex3]S=z+z^2+z^3+...+z^n=z\(\frac{z^n-1}{z-1}\)=cis(x)\(\frac{cis(nx)-1}{cis(x)-1}\)[/tex3]
[tex3]S=cis(x)\(\frac{(cos(nx)-1)+i.sin(nx)}{(cos(x)-1)+i.sin(x)}\)[/tex3]
[tex3]S=cis(x)\(\frac{-2\sin^2\(\frac{nx}{2}\)+i.2.\sin\(\frac{nx}{2}\).\cos\(\frac{nx}{2}\)}{-2\sin^2\(\frac{x}{2}\)+i.2.\sin\(\frac{x}{2}\).\cos\(\frac{x}{2}\)}\)[/tex3]

Multiplicando por [tex3]-i[/tex3] o numerado e o denominador e colocando em evidência.
[tex3]S=cis(x)\(\frac{\sin\(\frac{nx}{2}\)\(i.\sin\(\frac{nx}{2}\).\cos\(\frac{nx}{2}\)\)}{\sin\(\frac{x}{2}\)\(i.\sin\(\frac{x}{2}\).\cos\(\frac{x}{2}\)\)}\)[/tex3]
[tex3]S=cis(x)\(\frac{\sin\(\frac{nx}{2}\)cis(\frac{nx}{2})}{\sin\(\frac{x}{2}\)cis\(\frac{x}{2}\)}\)[/tex3]
[tex3]S=cis\(x+\frac{nx}{2}-\frac{x}{2}\)\(\frac{\sin\(\frac{nx}{2}\)}{\sin\(\frac{x}{2}\)}\)[/tex3]
[tex3]S=cis\(\frac{(n+1)x}{2}\)\(\frac{\sin\(\frac{nx}{2}\)}{\sin\(\frac{x}{2}\)}\)[/tex3]

Portanto,
[tex3]\sum_{k=1}^n cos(kx)=\cos\(\frac{(n+1)x}{2}\)\(\frac{\sin\(\frac{nx}{2}\)}{\sin\(\frac{x}{2}\)}\)[/tex3]
[tex3]\sum_{k=1}^n sin(kx)=\sin\(\frac{(n+1)x}{2}\)\(\frac{\sin\(\frac{nx}{2}\)}{\sin\(\frac{x}{2}\)}\)[/tex3]

Abraço.

[theblackmamba]

Obrigado pela explicação Filipe! Show de bola.
Só um detalhe..na soma: em vez de [tex3]tan[/tex3] é [tex3]cot\(\frac{45}{2}\)[/tex3]
Grande abraço..

[FilipeCaceres]

Já arrumei.

Grande abraço.