IME / ITA ⇒ (EPCAR-MG)Geometria espacial Tópico resolvido

[felps]

Pediu-se para calcular o volume de um cone circular reto, sabendo que as dimensões da geratriz, do raio da base e da altura estão, nessa ordem, em PA. Por engano, ao calcular o volume do cone, usou-se a fórmula do volume do cilindro regular reto de mesmo raio e de mesma altura do cone. O erro obtido foi de [tex3]4\pi m^3[/tex3]. A altura [tex3]H[/tex3] e o raio [tex3]R[/tex3] do cone valem, respectivamente?

Resposta

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[tex3]H=\frac{3}{2}m e R = \frac{1}{2}m[/tex3]

[theblackmamba]

Olá felps,

[tex3]PA:\{g,r,h\}[/tex3]
[tex3]g + h = 2r[/tex3] (i)

Erro (diferença do volume do cilindro e do cone):
[tex3]V_{cil} - V_{cone} = 4\pi[/tex3]
[tex3]\pi \cdot r^2 \cdot h - \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = 4 \pi[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3} \cdot r^2 \cdot h = 4[/tex3]
[tex3]r^2 \cdot h = 6 \rightarrow h = \frac{6}{r^2}[/tex3] (ii)

Mas no cone temos a relação:
[tex3]g^2 = r^2 + h^2[/tex3]
[tex3](2r - h)^2 = r^2 + h^2[/tex3]
[tex3]4r^2 - 4r\cdot h + \cancel{h^2} = r^2 + \cancel{h^2}[/tex3]
[tex3]3r^2 = 4r \cdot h[/tex3]
[tex3]3r = 4h[/tex3]
[tex3]3r = 4 \cdot \frac{6}{r^2}[/tex3]
[tex3]r^3 = 8 \rightarrow \boxed{r = 2 \,\text{m}}[/tex3]

Logo,
[tex3]\boxed{h = \frac{3}{2}\,\text{m}}[/tex3]

Abraço.

[felps]

Obrigado.