Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica: Soma dos n Primeiros Termos

[InGriD™]

A soma dos termos de uma PG finita é [tex3]728[/tex3]. Sabendo que [tex3]a_n=486[/tex3] e [tex3]q=3[/tex3], calcule o primeiro
termo dessa seqüência.

Bom gente, eu tô com um pouco de duvida em relação a seqüencias e etc.
Em alguns problemas eu não consigo raciocinar direito
;T
Se alguém puder demonstrar como é a resolução desse ficaria grata

[Alexandre_SC]

Alguém sabe de onde vem a fórmula da soma da PG?

Aprendi Hoje!

[tex3]S_n = a_1+a_2+a_3 +. . . +a_n[/tex3]

[tex3]S_n = a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2 +. . . +a_1\cdot q^{n-1}[/tex3]

podemos então multiplicar os dois lados por q

[tex3]q \cdot S_n = q\cdot a_1+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3 +. . . +a_1\cdot q^{n}[/tex3]

fazendo-se a diferença desas duas equações temos

[tex3]S_n\cdot q - S_n = (\cdot a_1+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3 +. . . +a_1\cdot q^{n}) - a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2 +. . . +a_1\cdot q^{n-1} = a_1\cdot q^n-a_1[/tex3]

colocanco-se o [tex3]S_n[/tex3] em evidência à esquerda:

[tex3]S_n(q-1) = a_1\cdot (q^n-1)[/tex3]

então:

[tex3]S_n = \frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}[/tex3]

ele nos diz que a razão é 3, e a soma é 728, e nos diz o último termo

[tex3]728 = \frac{a_1\cdot 3^n-a_1}{3-1}[/tex3]

Muito difícil esse problema.

[tex3]a_1(3^n-1)=1456[/tex3]
[tex3]a_1=\frac{1456}{(3^n-1)}[/tex3]

o jeito é fatorar o 1456, todos os divisores que forem múltiplos de um antecessor de uma potência de trez serve como solução para [tex3]3^n-1[/tex3]

por tentativas descobri que é 2

mas calcular está difícil

AHHHH

[tex3]\frac{1456}{3^n-1}[/tex3] é inteiro, pois o termo final e a razão são inteiros.

[tex3]{1456} = a({3^n-1})[/tex3] então

[tex3]1456+a = a3^n[/tex3]

a é positivo pois a razão é positiva e o último termo tambem

então devemos encontra um inteiro tal que

[tex3]1456+a[/tex3] seja múltiplo de a e ao mesmo tempo múltiplo de [tex3]3^n[/tex3]

[tex3]1456+a = a3^n[/tex3]

no caso 1458 é [tex3]2\cdot 3^6[/tex3] e simultaneamente 1456+2.
mas como se descobre isso eu ainda não sei!

[InGriD™]

Vixee
Complicado
;T

Vo te que entender ainda
^^'

Muito obrigada
o//

[edu_landim]

Quando se menciona [tex3]a_n\,=\,486[/tex3], entenda que 486 é o último termo. Uma forma seria dividir por 3 para obtermos o termo anterior, repetindo o processo até que a soma desses resulte em 728.

Usando as fórmulas teríamos

[tex3]a_n\,=\,a_1\,\cdot\,q^{n\,-\,1}[/tex3]

[tex3]486\,=\,a_1\,\cdot\,3^{n\,-\,1}[/tex3]

[tex3]2\,\cdot\,3^5\,=\,a_1\,\cdot\,3^{n\,-\,1}[/tex3]

[tex3]a_1\,=\,\frac{2\,\cdot\,3^5}{3^{n\,-\,1}}[/tex3]

[tex3]a_1\,=\,2\,\cdot\,3^{6\,-\,n}\,\,\,[/tex3](I)


Temos também que

[tex3]S\,=\,\frac{a_1\,\cdot\,(q^n\,-\,1)}{q\,-\,1}[/tex3]

[tex3]728\,=\,\frac{2\,\cdot\,3^{6\,-\,n}\,\cdot\,(3^n\,-\,1)}{3\,-\,1}[/tex3]

[tex3]728\,=\,3^{6\,-\,n}\,\cdot\,(3^n\,-\,1)[/tex3]

[tex3]728\,=\,3^6\,-\,3^{6\,-\,n}[/tex3]

[tex3]728\,=\,729\,-\,3^{6\,-\,n}[/tex3]

[tex3]3^{6\,-\,n}\,=\,1[/tex3]

[tex3]3^{6\,-\,n}\,=\,3^0[/tex3]

[tex3]6\,-\,n\,=\,0[/tex3]

[tex3]n\,=\,6[/tex3]

Basta substituirmos o resultado em (I) para obtermos [tex3]a_1\,=\,2[/tex3]