Ensino Superior ⇒ Limites trigonométricos(sen, cos, tg e sec) Tópico resolvido

[lecko]

Exercicíos retirados do livro Um curso de cálculo I - Hamilton Guidorizzi 5º edição, págin a 97, número 3:

Calcule:
[tex3]A)[/tex3] [tex3]\lim_{x \to p} \hspace{6mm} \frac{sen x - sen p}{x-p}[/tex3]
[tex3]B)[/tex3] [tex3]\lim_{x \to p} \hspace{6mm} \frac{cos x - cos p}{x-p}[/tex3]
[tex3]C)[/tex3] [tex3]\lim_{x \to p} \hspace{6mm} \frac{tg x - tg p}{x-p}[/tex3]
[tex3]D)[/tex3] [tex3]\lim_{x \to p} \hspace{6mm} \frac{sec x - sec p}{x-p}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito:[tex3]\hspace{10mm} A =\hspace{3mm} cosp \\ B=\hspace{3mm} {-}senp \\ C=\hspace{3mm} sec^2p \\ D=\hspace{3mm} secp.tgp[/tex3]

[lelei]

Usando a regra de L'Hôpital:

A) [tex3]\lim_{x \to p}\frac{\cos x}{1}=\cos p[/tex3]

Faça o mesmo para as outras.
Até mais.

[cajuADMIN]

Olá lelei,

Seria legal você explicar por que pode-se usar a regra de L'Hopital no exercício que você resolveu. Assim como mostrar o que é a regra de L'Hopital (já que é rapidinho, deixa a resolução mais elegante).

Alguém que está com dúvida nesta matéria não irá entender sua resolução, pois ela está muito direta.

Caro lecko, por favor, poste somente uma questão por tópico.

Grande abraço,
Prof. Caju

[lelei]

Desculpe o senhor está certo,mas o problema é a falta de tempo para resolver todas e explicar melhor,como é fácil encontrar informações sobre a regra de L'Hopital achei que não era preciso de detalhes.Abraço e até mais.

[Natan]

Um observador mais atento notaria que esses limites na verdade representam a definição das derivadas das funções envolvidas, não tenho certeza mas acredito que o objetivo não é usar a regra de L'Hospital...

vou resolver o primeiro deles:

[tex3]\lim_{x \to p} \frac{sinx-sinp}{x-p}[/tex3] inicialmente vou propor a seguinte mudança:

[tex3]\begin{cases}t=x-p \\ x \to p, t \to 0\end{cases}[/tex3]

[tex3]\lim_{t \to 0} \frac{sin(t+p)-sinp}{t}[/tex3] agora vou abrir o seno da soma que apareceu:
[tex3]\lim_{t \to 0} \frac{sint.cosp+sinp.cost-sinp}{t} \\ \lim_{t \to 0} \frac{sint.cosp}{t}+\frac{sinp(cost-1)}{t}[/tex3]

veja que o primero limite resulta em [tex3]cosp[/tex3] devido a presença do limite fundamental [tex3]\lim_{t \to 0} \frac{sint}{t}=1[/tex3]

para o segundo limite vou fazer umas modificações veja:

[tex3]\frac{cost-1}{t}=\frac{cos^2t-1}{t(cost+1)}=\frac{-sin^2t}{t(cost+1)}=-\frac{sint}{t}.\frac{sint}{(cost+1)}[/tex3] donde vem:

[tex3]\lim_{t \to 0} \frac{sinp(cost-1)}{t}=sinp.\lim_{t \to 0} -\frac{sint}{t}.\frac{sint}{(cost+1)}=sinp.(-1).0=0[/tex3]


espero que tenha compreendido, até!