Olimpíadas ⇒ Portugal 1994. Tópico resolvido

[Cássio]

Ache o menor inteiro positivo que tem 1994 divisores.

[theblackmamba]

Olá Cássio,

Fatorando o número desejado:
[tex3]N = a_1 ^{e_1} \cdot a_2 ^{e_2}\,\cdot \cdot \cdot \,a_k ^{e_k}[/tex3]

O número de divisores desse número é dado por:
[tex3](e_1 + 1)(e_2 + 2)\,\cdot \cdot \cdot \,(e_k + 1) = 1994[/tex3]

Mas, [tex3]1994 = 2\cdot997[/tex3], logo só precisamos saber os valores dos dois primeiros expoentes:
[tex3](e_1 + 1)(e_2 + 2) = 2\cdot 997[/tex3]

1.[tex3]\,\,\,e_1 = 1 \Right e_2 = 996[/tex3]
2.[tex3]\,\,\,e_1 = 996 \Right e_2 = 1[/tex3]

Como queremos o menor valor para [tex3]N[/tex3] temos de ter os menores valores para [tex3]a_1 \,\,\text{e}\,\, a_2[/tex3] que são respectivamente 2 e 3. E devemos maximizar o expoente de 2 e minimizar o expoente de 3, para assim minimizar o produto, logo:

[tex3]\boxed{N = 2^{996} \cdot 3}[/tex3]
Espero que seja isso. Abraço.