Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest-SP - Adaptado) Geometria Analítica Tópico resolvido

[felps]

Sejam [tex3]A=(0,0), B=(0,5)[/tex3] e [tex3]C=(4,3)[/tex3] pontos do plano cartesiano.

Considere a circunferência que passa por [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3]. Determine a equação da reta tangente a essa circunferência no ponto [tex3]A[/tex3].

Resposta

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[tex3]x+2y=0[/tex3]

[victoria]

Olá felps, vamos lá:

equação da circunferência: [tex3](x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}[/tex3]
sendo (a,b) o centro e r o raio,
substituindo os pontos dados:

[tex3]a^{2}+b^{2}=r^{2}[/tex3]
[tex3]a^{2}+(5-b)^{2}=r^{2}[/tex3]
[tex3](4-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2}[/tex3]

Resolvendo, temos: [tex3]a=\frac{5}{4}[/tex3], [tex3]b=\frac{5}{2}[/tex3] e [tex3]r=\frac{5 \sqrt{5}}{4}[/tex3]

Como a reta tangente à circunferência passa pelo ponto (0,0), sua equação é:
[tex3]y=ax[/tex3]

Da distância de ponto à reta:
[tex3]r=\frac{ \mid a.x_{0}+by_{0}+c \mid}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/tex3]

[tex3]\frac{5 \sqrt{5}}{4}=\frac{ \mid \frac{5a}{4}-\frac{5}{2} \mid }{\sqrt{a^{2}+1}}[/tex3]

Resolvendo, temos [tex3]a=\frac{-1}{2}[/tex3]

Logo, a reta é [tex3]y=\frac{-1}{2}x=2y+x[/tex3]

[felps]

Obrigado.