IME / ITA ⇒ Triângulo abc Tópico resolvido

[andreluiz]

Um triângulo [tex3]abc[/tex3] com [tex3]|ac|=B[/tex3], [tex3]|ab|=C[/tex3] e [tex3]|bc|=A[/tex3] satisfaz [tex3]\frac{1}{A+B}+\frac{1}{B+C}=\frac{3}{A+B+C}[/tex3]. O ângulo [tex3]b[/tex3] mede:

a)[tex3]30^{\circ}[/tex3]
b)[tex3]45^{\circ}[/tex3]
c)[tex3]60^{\circ}[/tex3]
d)[tex3]90^{\circ}[/tex3]
e)[tex3]nda[/tex3]

Obrigado.

[cajuADMIN]

Olá andreluiz,

Agora está entendível. Mesmo o enunciado pecando em utilizar letras minúsculas para representar os vértices e letras maiúsculas para representar as dimensões, dá para entender.

Quando o enunciado diz [tex3]|ac|=B[/tex3], as barrinhas verticais indicam módulo, representando o comprimento do lado que vai do ponto [tex3]a[/tex3] até o ponto [tex3]c[/tex3]. Do jeito que estava escrito antes, com o ponto no meio, parecia uma multiplicação de dois comprimentos [tex3]a[/tex3] e [tex3]c[/tex3].

Bom, vamos à resolução.

Efetuando o MMC da equação dada no enunciado:

[tex3]\frac{1}{A+B}+\frac{1}{B+C}=\frac{3}{A+B+C}[/tex3]

[tex3]\frac{(B+C)(A+B+C)}{\cancel{(A+B)(B+C)(A+B+C)}}+\frac{(A+B)(A+B+C)}{\cancel{(A+B)(B+C)(A+B+C)}}=\frac{3(A+B)(B+C)}{\cancel{(A+B)(B+C)(A+B+C)}}[/tex3]

[tex3](B+C)(A+B+C)+(A+B)(A+B+C)=3(A+B)(B+C)[/tex3]

[tex3]AB+B^2+BC+AC+BC+C^2+A^2+AB+AC+AB+B^2+BC=3AB+3AC+3B^2+3BC[/tex3]

Somando o lado esquerdo:

[tex3]A^2+2B^2+C^2+\cancel{3AB}+\cancel{3BC}+2AC=\cancel{3AB}+3AC+3B^2+\cancel{3BC}[/tex3]

[tex3]\boxed{A^2+C^2=AC+B^2}[/tex3]

Guardamos este valor.

Vamos chamar o ângulo [tex3]b[/tex3] de [tex3]\alpha[/tex3].

Aplicando a lei dos co-senos no ângulo [tex3]\alpha[/tex3]:

[tex3]B^2=A^2+C^2-2AC\cdot\cos(\alpha)[/tex3]

Substituímos este [tex3]B^2[/tex3] na expressão quadriculada acima:

[tex3]A^2+C^2=AC+B^2[/tex3]

[tex3]\cancel{A^2}+\cancel{C^2}=AC+\overbrace{\cancel{A^2}+\cancel{C^2}-2AC\cdot\cos(\alpha)}^{B^2}[/tex3]

[tex3]2\cdot AC\cdot\cos(\alpha)=AC[/tex3]

[tex3]\cos(\alpha)=\frac{1}{2}\rightarrow \alpha =60^{\circ}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju