Olimpíadas ⇒ (Uruguai - 2000) Números reais Tópico resolvido

[theblackmamba]

Existem números reais [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] tais que:

[tex3]\begin{cases}x+y=1\\x^2+y^2=2\\x^3+y^3=3 \,\,\,?\end{cases}[/tex3]

[victoria]

Olá theblackmamba,

pensei da seguinte forma:

A primeira equação:
[tex3]x+y=1[/tex3] é pertinente pois é equação de uma reta

A segunda equação:
[tex3]x^{2}+y^{2}=2[/tex3]
é a equação de uma circunferência de Centro ( 0,0) e raio [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Assim, elevando a primeira ao quadrado:

[tex3](x+y)^{2}=1[/tex3]
[tex3]x^{2}+y^{2}+2xy=1[/tex3]

[tex3]2+2xy=1[/tex3]
Assim, [tex3]xy=-0,5[/tex3]

Analisando a terceira equação:

[tex3]x^{3}+y^{3}=3[/tex3]
[tex3](x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)=3[/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]x+y[/tex3], [tex3]x^{2}+y^{2}[/tex3] e [tex3]xy[/tex3]:

[tex3]1.(2+0,5) \neq 3[/tex3]

Assim, não existem números reais [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] que atendam às 3 condições.

Espero ter ajudado.
Abraço.