Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 2007) Números Complexos e Geometria Analítica

[LucasMattos]

Seja [tex3]S[/tex3] o conjunto de números complexos [tex3]z[/tex3] tais que [tex3]| z - (2 + 4i) | = 2 .[/tex3]

a) No plano complexo abaixo, faça o esboço de [tex3]S,[/tex3] sendo [tex3]z = x + iy,[/tex3] com [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] números reais.

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b) Determine o ponto de [tex3]S[/tex3] mais próximo da origem.

[fabit]

a) [tex3]2 + 4i[/tex3] é um número complexo fixo, cujas coordenadas são [tex3](2,4).[/tex3]

A expressão módulo de uma diferença pode ser interpretada geometricamente como distância, ou seja, [tex3]|z-w|[/tex3] é a distância entre [tex3]z[/tex3] e [tex3]w.[/tex3]

No caso, [tex3]w = 2 + 4i[/tex3] é fixo e já está localizado.

A equação [tex3]| z - (2 + 4i) | = 2[/tex3] nos diz que a distância entre [tex3]z[/tex3] e [tex3]w[/tex3] é igual a [tex3]2.[/tex3] Ora, qual é o lugar geométrico dos pontos que têm mesma distância em relação a um ponto fixo? Resposta: Circunferência.

No caso temos uma circunferência com centro em [tex3](2,4)[/tex3] e raio [tex3]2.[/tex3] Para o esboço, perceba que essa região tangencia o eixo imaginário no ponto [tex3](0,4).[/tex3]

Obs.:

• 1. Para uma inequação como [tex3]|z-(2+4i)|\leq2 ,[/tex3] a resposta seria o círculo (disco fechado = circunferência + interior), l.g. dos pontos cuja distância a um ponto fixo é menor ou igual a 2. Para [tex3]|z-(2+4i)|<2,[/tex3] teríamos apenas o interior (disco aberto).
  
  2. [tex3]|z+(2+4i)|= |z-(-2-4i)|[/tex3] (para enquadrarmos no que foi mostrado acima)

b) Considere a figura abaixo, onde [tex3]P(a,b)[/tex3] é o ponto procurado.

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A equação da reta [tex3]OC[/tex3] é dada por

• [tex3]y-y_o=\frac{y_c-y_o}{x_c-x_o}\cdot (x-x_o)\Longrightarrow y=2x[/tex3]

Mas [tex3]P[/tex3] pertence à reta [tex3]OC,[/tex3] logo [tex3]P=(a, 2a).[/tex3]

E como [tex3]P[/tex3] também pertence à circunferência [tex3](x-2)^2+(y-4)^2=4,[/tex3] temos:

• [tex3](a-2)^2+(2a-4)^2=4\Longrightarrow 5(a-2)^2=4\Longrightarrow a-2=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}\Longrightarrow a=\frac{2\cdot(5-\sqrt{5})}{5}[/tex3]

Portanto,

• [tex3]P=\left(\frac{10-2\sqrt{5}}{5},\frac{20-4\sqrt{5}}{5}\right)[/tex3]