IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2003) Equação do Segundo Grau Tópico resolvido

[Wachsmuth]

Dada a equação do 2º grau na incógnita [tex3]x:\text{ } 4x^2+kx+3=0.[/tex3] Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro [tex3]k,[/tex3] tais que essa equação só admita raízes racionais?

a) [tex3]2[/tex3]
b) [tex3]3[/tex3]
c) [tex3]4[/tex3]
d) [tex3]6[/tex3]
e) [tex3]8[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Wachsmuth,

Para que a equação tenha raízes racionais, o seu [tex3]\Delta[/tex3] deve ser um quadrado perfeito.

• [tex3]\Delta = k^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3[/tex3]
  [tex3]\Delta = k^2 - 48[/tex3]

Agora devemos testar um por um os valores possíveis de [tex3]k[/tex3] e ver quais resultam em um quadrado perfeito.

Mas você deve estar achando que iremos testar infinitos valores... mas não! Existem algumas restrições que podemos ver antes.

A primeira diz respeito ao sinal, ou seja, [tex3]\Delta > 0.[/tex3] Para isso, vemos que [tex3]k \geq 7.[/tex3]

Queremos que [tex3]\Delta[/tex3] seja um quadrado perfeito, portanto, vamos dizer que ele será [tex3]\Delta = j^2[/tex3] onde [tex3]j[/tex3] é um número inteiro. Então:

• [tex3]k^2-48 = j^2[/tex3]
  [tex3]k^2-j^2 = 48[/tex3]

Analisando a seqüência dos quadrados perfeitos:

• [tex3]\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots\}[/tex3]

Vemos que a diferença entre dois números consecutivos segue como uma PA dos números ímpares:

• [tex3]4 - 1 = 3\\
  9 - 4 = 5\\
  16 - 9 = 7\\
  25 - 16 = 9\\
  36 - 25 = 11\\
  \ldots[/tex3]

Portanto, para acontecer [tex3]k^2-j^2 = 48,[/tex3] com certeza [tex3]k\leq 24,[/tex3] pois [tex3]25^2 - 24^2 = 49,[/tex3] que já é maior do que [tex3]48.[/tex3]

Então devemos testar os valores entre [tex3]7[/tex3] e [tex3]24,[/tex3] inclusive. Pois é, é trabalhoso mesmo, mas é certo de achar a resposta.

• [tex3]\begin{aligned}
  k = 7 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = \boxed{1} \\
  k = 8 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = \boxed{16} \\
  k = 9 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 33 \\
  k = 10 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 52 \\
  k = 11 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 73 \\
  k = 12 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 96 \\
  k = 13 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = \boxed{121} \\
  k = 14 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 148 \\
  k = 15 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 177 \\
  k = 16 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 208 \\
  k = 17 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 241 \\
  k = 18 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 276 \\
  k = 19 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 313 \\
  k = 20 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 352 \\
  k = 21 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 393 \\
  k = 22 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 436 \\
  k = 23 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 481 \\
  k = 24 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 528
  \end{aligned}[/tex3]

Veja que somente os três valores grifados resultam em um quadrado perfeito. Ou seja, só temos [tex3]3[/tex3] valores positivos de [tex3]k[/tex3] que satisfazem o enunciado. Mas lembre-se que [tex3]k[/tex3] está ao quadrado, ou seja, os mesmos números, com sinal negativo, também satisfazem .

Resposta final, [tex3]6[/tex3] possibilidades.

Atenciosamente
Prof. Caju
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