Concursos Públicos ⇒ CEFET-RJ 2012 -- Lógica II Tópico resolvido

[luisflusao96]

Considere o seguinte procedimento: na primeira etapa, pegue uma folha de papel e corte-a ao meio, colocando os dois pedaços um sobre o outro. Em uma próxima etapa, corte novamente os papéis ao meio e coloque os pedaços um sobre o outro formando uma pilha de papéis. Continue fazendo isso em cada etapa: sempre cortando todos os pedaços de papel da etapa anterior ao meio e formando uma nova pilha com todos os pedaços. Se fosse possível realizar o que foi exposto, em quantas etapas, no mínimo, poderíamos formar uma pilha de papel com cerca de 200 m de altura? Considere que 100 folhas empilhadas têm 1 cm de altura e que podemos fazer a aproximação [tex3]2^{10}[/tex3]=1024 ≈ [tex3]10^{3}[/tex3].
(a) 21 etapas
(b) 201 etapas
(c) 2001 etapas
(d) infinitas etapas

[diasferras]

Obs : q^n significa q elevado a n
* = veses

Por regra de 3 temos que serão necessárias 2.000.000 de folhas para que a pila atinja 200 metros , dado
100 folhas ----------- 0,01 metro
x folhas ------------ 200 0,01x = 20.000 ---- x= 2.000.000


Como 1 folha forma 2 , 2 folhas formam 4 , deduzimos que a cada etapa , o número de folhas é dobrado , por isso podemos pensar em uma progressão geometrica (P.G) de razão 2.

Como a fórmula da soma dos numeros da P.G é Sn(soma)=a¹(primeiro termo)*(q^n - 1) / q-1
portanto 2.000.000(soma dos papéis) = 1 (primeiro papel a ser dividido)*(2^n - 1)/ 2-1
=2.000.000 = 2^n - 1
1.999.999=2^n

aproximando 1.999.999 para 2.000.000 temos que

2^n=2.000.000 tirando um 2 do 2^n temos que

2^(n-1) * 2 = 2.000.000 simplificando temos que

2^(n-1)=1.000.000
como 1.000.000 = 1000 * 1000 e pelo texto 2^10 = 1000 temos que

2^(n-1)=2^10*2^10

2^(n-1)=2^20

surge uma equação exponencial com bases iguais , para a equação ser verdadeira , as bases devem ser iguais e os expoentes
também , portanto.

n-1 = 20
n=21
Reposta A.

[brain_tnt]

Uma outra forma de responder seria usando a fórmula do termo geral de uma PG.
Pela regra de 3 a gente encontra o valor do número de pedaços = [tex3]2.000.000 = 2.10^6[/tex3]
[tex3]PG(1,2,4,...,2.10^6)[/tex3]
[tex3]a_1=1[/tex3]
[tex3]a_n=2.10^6= 2. 10^3.10^3[/tex3]
[tex3]q=2[/tex3]

[tex3]a_n=a_1.q^{n-1}[/tex3]
Substituindo, temos:
[tex3]2.10^3.10^3=1.2^{n-1}[/tex3]
O enunciado disse que posso usar [tex3]10^3 = 2^{10};[/tex3]
[tex3]2.2^{10}.2^{10} = 2^{n-1}[/tex3]
[tex3]2^{(1+10+10)}=2^{n-1}[/tex3]
Para que essa igualdade seja verdadeira, o expoentes precisam ser iguais também, logo;
[tex3]n=22[/tex3]

Temos que a 1º etapa começa a partir do 2º termo. Logo teremos 22 -1 etapas. Resposta [tex3]\boxed{21 \, etapas }[/tex3]
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Outra forma:

[tex3]PG(1,2,4,...2.10^6)[/tex3] pode ser escrita da seguinte forma com [tex3]10^3 = 2^{10}[/tex3], temos que [tex3]2.10^6 = 2^{21}\,;[/tex3]
[tex3]PG(1,2^1,2^2,...,2^{21})[/tex3] facilmente percebemos que de [tex3]2^1[/tex3] até [tex3]2^{21}[/tex3] temos [tex3]21[/tex3] termos. Como tem o [tex3]1[/tex3] também, temos que [tex3]21[/tex3] termos mais o outro que sobrou = [tex3]22[/tex3] termos. Como a [tex3]1^o[/tex3] etapa começa com a criação do segundo termo, podemos concluir que temos [tex3]22 - 1[/tex3] etapas =[tex3]\boxed{ 21\, etapas}[/tex3]