Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Lei dos Cossenos

[kildo]

Uma região circular de raio [tex3]100 \text{km}[/tex3] será reflorestada e, para tanto, foi subdividida em [tex3]12[/tex3] lotes iguais com o formato de um setor circular. Determine o comprimento da corda sobre a fronteira da região correspondente a cada lote.

[Alexandre_SC]

Considere a figura abaixo.

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O ângulo de cada setor é [tex3]\frac{360^\circ}{12}=30^\circ .[/tex3]

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo indicado, temos

• [tex3]\ell^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot \cos30^\circ[/tex3]
  
  [tex3]\ell^2=2r^2 - 2\cdot r^2 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
  
  [tex3]\ell^2=r^2(2 - \sqrt{3})[/tex3]
  
  [tex3]\ell =\sqrt{r^2(2 - \sqrt{3})}[/tex3]
  
  [tex3]\ell =r\sqrt{2 - \sqrt{3}}[/tex3]
  
  [tex3]\ell =100\sqrt{2 - \sqrt{3}}\text{ km} .[/tex3]

[fabit]

• [tex3]\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2+1}{2}}-\sqrt{\frac{2-1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}[/tex3]
  
  [tex3]100\sqrt{2-\sqrt{3}}=100\cdot \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}=50\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\text{km}[/tex3]

Radical Duplo

• [tex3]\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-c}{2}},[/tex3]

onde [tex3]c=\sqrt{a^2-b}.[/tex3]