Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Círculos num Triângulo Tópico resolvido

[andreluiz]

Sabendo que H é o ortocentro do triângulo ABC e que os círculos são tangentes
sempre a um dos lados e a duas alturas distintas.

29 JAN 2.JPG (18.03 KiB) Exibido 2605 vezes

Provar que os raios a,b,c,d,e,f obedecem a relação: a.b.c = d.e.f

[cajuADMIN]

Olá andreluiz,

Iremos utilizar uma fórmula não muito famigerada, mas de fácil dedução.
É a fórmula do raio [tex3]r[/tex3] do círculo inscrito a um triângulo retângulo [tex3]ABC[/tex3] de hipotenusa [tex3]h[/tex3] e catetos [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3]:

[tex3]\boxed{r=\frac{c_1\cdot c_2}{h+c_1+c_2}}[/tex3]

Deixo como exercício a parte da dedução, mas dou uma dica: seja o centro [tex3]P[/tex3] do círculo inscrito, ache a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] utilizando os catetos e ache a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] somando as áreas dos triângulos ABP+BCP+ACP e iguale.

Bom, vamos dar nomes aos segmentos que iremos utilizar na resolução:

Screen Shot 2012-02-02 at 18.24.09.png (28.2 KiB) Exibido 2556 vezes

Para não poluir muito o desenho, representei os raios dos círculos do desenho do enunciado como sendo a letrinha circulada dentro de cada triângulo.

Agora, com estes valores, podemos encontrar o valor de cada raio com a fórmula apresentada inicialmente:

[tex3]\boxed{a=\frac{px}{p+w+x}}\,\,\,\,\,\boxed{b=\frac{rz}{r+y+z}}\,\,\,\,\,\boxed{c=\frac{tv}{\alpha+t+v}}[/tex3]

[tex3]\boxed{d=\frac{sz}{s+z+\alpha}}\,\,\,\,\,\boxed{e=\frac{uv}{u+v+w}}\,\,\,\,\,\boxed{f=\frac{qx}{x+y+q}}[/tex3]

Devemos, também, enxergar algumas semelhanças de triângulo.

Note que os ângulos [tex3]\widehat{AHE}[/tex3] e [tex3]\widehat{BHD}[/tex3] são iguais, pois são OPV (Opostos Pelo Vértice). E, sendo os ângulos [tex3]\widehat{BDH}[/tex3] e [tex3]\widehat{AEH}[/tex3], temos que os triângulos [tex3]AEH[/tex3] e [tex3]BDH[/tex3] são semelhantes pois possuem todos os ângulos internos iguais.

Com o mesmo raciocínio, temos que os triângulos [tex3]CEH[/tex3] e [tex3]BFH[/tex3] são semelhantes e idem para [tex3]CDH[/tex3] e [tex3]AFH[/tex3].

Com estas três semelhanças, temos:

[tex3]\boxed{\frac{z}{v}=\frac{r}{u}=\frac{y}{w}}\,\,\,\,\,\boxed{\frac{q}{t}=\frac{x}{v}=\frac{y}{\alpha}}\,\,\,\,\,\boxed{\frac{x}{z}=\frac{p}{s}=\frac{w}{\alpha}}[/tex3]

Agora que vem o pulo do gato. Vamos utilizar a propriedade de proporções que diz:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. Isso quer dizer que se temos uma proporção [tex3]\frac ab=\frac cd[/tex3], também é válida a igualdade [tex3]\frac{a+c}{b+d}=\frac ab=\frac cd[/tex3]

Então vamos aplicar esta propriedade em cada uma das semelhanças que achamos:

[tex3]\frac{z}{v}=\frac{r}{u}=\frac{y}{w}\,\,\rightarrow \,\,\frac{r+y+z}{u+v+w}=\frac{r}{u}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\frac{r}{r+y+z}=\frac{u}{u+v+w}}[/tex3]

[tex3]\frac{q}{t}=\frac{x}{v}=\frac{y}{\alpha}\,\,\rightarrow \,\,\frac{x+y+q}{\alpha+t+v}=\frac{q}{t}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\frac{t}{\alpha+t+v}=\frac{q}{x+y+q}}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{z}=\frac{p}{s}=\frac{w}{\alpha}\,\,\rightarrow \,\,\frac{p+w+x}{s+z+\alpha}=\frac{p}{s}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\frac{p}{p+w+x}=\frac{s}{s+z+\alpha}}[/tex3]

Note que o lado esquerdo das três equações enquadradas acima aparecem nos valores dos raios [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3].

Quase acabando, vamos substituir esses três valores acima encontrados, nos resultados obtidos anteriormente para os raios [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3]:

[tex3]a=\frac{px}{p+w+x}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{a=\frac{sx}{s+z+\alpha}}[/tex3]

[tex3]b=\frac{rz}{r+y+z}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{b=\frac{uz}{u+v+w}}[/tex3]

[tex3]c=\frac{tv}{\alpha+t+v}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{c=\frac{qv}{x+y+q}}[/tex3]

Para finalizar, vamos multiplicar estes valores de [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] e vamos comparar com a multiplicação dos valores encontrados anteriormente para [tex3]d[/tex3], [tex3]e[/tex3] e [tex3]f[/tex3].

[tex3]\boxed{\boxed{ a\cdot b\cdot c=\frac{sx}{s+z+\alpha}\cdot\frac{uz}{u+v+w}\cdot\frac{qv}{x+y+q}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{ d\cdot e\cdot f=\frac{sz}{s+z+\alpha}\cdot\frac{uv}{u+v+w}\cdot\frac{qx}{x+y+q}}}[/tex3]

Note que os produtos são iguais. CQD.

Grande abraço,
Prof. Caju

[FilipeCaceres]

Olá a todos,

Uma outra solução possível.

Veja que o triângulo [tex3]\Delta AHF \sim \Delta CHD[/tex3], assim temos
[tex3]\frac{a}{d}=\frac{AH}{CH}[/tex3]

Analogamente,
[tex3]\frac{b}{e}=\frac{BH}{AH}[/tex3]
[tex3]\frac{c}{f}=\frac{CH}{BH}[/tex3]

Multiplicando,
[tex3]\frac{abc}{def}=\frac{AH.BH.CH}{CH.AH.BH}=1[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{abc=def}[/tex3].CQD

Abraço.

[cajuADMIN]

Nossa... muito melhor, Filipe.

Realmente, esqueci desse detalhe. Quando os triângulos são semelhantes, os raios dos círculos inscritos a esses triângulos seguem a proporção de semelhança (idem para o círculo circunscrito).

Muito bom, parabéns!

Grande abraço,
Prof. Caju