Pré-Vestibular ⇒ (UFPE- 1993) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

No paralelogramo [tex3]ABCD[/tex3] da figura abaixo, [tex3]P[/tex3] é um ponto escolhido em [tex3]\overline{DC}[/tex3], e [tex3]x[/tex3], [tex3]y[/tex3], [tex3]z[/tex3] são as medidas das áreas dos triângulos indicados.
Podemos afirmar que:

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0-0) [tex3]x+y=z[/tex3], para todo [tex3]P[/tex3].
1-1) Existe [tex3]P[/tex3] tal que [tex3]x=2y[/tex3] e [tex3]3y=z[/tex3].
2-2) Existe [tex3]P[/tex3] tal que [tex3]2x=3y[/tex3] e [tex3]3y=5z[/tex3].
3-3) [tex3]2z[/tex3] é a medida da área de [tex3]ABCD[/tex3] , para todo [tex3]P[/tex3].
4-4) Existe [tex3]P[/tex3] tal que [tex3]2x=2y=z[/tex3].

[diogopfp]

04.02.2012.png (6.46 KiB) Exibido 798 vezes

Usando as medidas descritas nas figuras as expressões das áreas são:
[tex3]X=\frac{rh}{2}[/tex3]
[tex3]Z=\frac{th}{2}[/tex3]
[tex3]Y=\frac{(t-r)h}{2}[/tex3]
Dessa ultima segue que
[tex3]Y=\frac{th}{2}-\frac{rh}{2}[/tex3]
[tex3]Y=Z-X[/tex3]

Portanto [tex3]X+Y=Z[/tex3] (afirmação (0) está correta)

Suponha que [tex3]X=2Y[/tex3], então
[tex3]X+Y=Z[/tex3]
[tex3]2Y+Y=Z[/tex3]
[tex3]3Y=Z[/tex3] (afirmação (1) está correta)

Suponha que [tex3]2X=3Y[/tex3], então [tex3]X=\frac{3}{2}Y[/tex3]
[tex3]X+Y=Z[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}Y+Y=Z[/tex3]
[tex3]\frac{5}{2}Y=Z[/tex3]
[tex3]5Y=2Z[/tex3] (afirmação (2) está errada)

A media da área de [tex3]ABCD[/tex3] é [tex3]th[/tex3], mas
[tex3]th = 2\frac{tr}{2}[/tex3]
[tex3]th = 2Z[/tex3] (afirmação (3) está correta)

Suponha que [tex3]2X=2Y[/tex3], ou seja, [tex3]X=Y[/tex3], então usando que [tex3]X+Y=Z[/tex3]
[tex3]X+Y=Z[/tex3]
[tex3]X+X=Z[/tex3]
[tex3]2X=Z[/tex3]
Portanto [tex3]2X=2Y=Z[/tex3] (afirmação (4) está correta)

Obs.: usando apenas o desenho é possível responder todas as afirmações, mas de qualquer forma tentei explicar cada uma.