Pré-Vestibular ⇒ (UFPE - 1993) Álgebra Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Desenvolvendo [tex3](x^2+x-1)^n[/tex3], obtém-se [tex3]a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...a_1x+...+a_0[/tex3]. Quanto vale a soma dos coeficientes de índice par [tex3]a_{2n}+a_{2n-2}+...+a_2+a_0[/tex3] para [tex3]n=1992[/tex3] ?

[FilipeCaceres]

Olá Aldrin,

Temos,
[tex3][x^2+(x-1)]^n=T_1+T_2+T_3+T_4+...[/tex3]
[tex3][x^2-(x-1)]^n=T_1-T_2+T_3-T_4+...[/tex3]

Subtraindo temos,
[tex3][x^2+(x-1)]^n-[x^2-(x-1)]^n=2[T_2+T_4+T_6+...][/tex3]
[tex3]T_{par}=\frac{[x^2+(x-1)]^n-[x^2-(x-1)]^n}{2}[/tex3]

Como queremos a soma dos coeficientes, basta fazer [tex3]x=1[/tex3]
[tex3]T_{par}=\frac{[1^2+(1-1)]^{1992}-[1^2-(1-1)]^{1992}}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{T_{par}=0}[/tex3]

Vale lembrar que:
[tex3](x+a)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}.a^k.x^{n-k}[/tex3]
[tex3]T_{k+1}={n\choose k}a^k.x^{n-k}[/tex3]

Abraço.