Demonstrações ⇒ Demonstração - Círculo dos Nove Pontos e Reta de Euler Tópico resolvido

[fabit]

Estou abrindo este tópico como meio de experimentar minhas habilidades em Geogebra e Gadwin Printscreen. Mas como não devo desperdiçar a chance, coloco um desafio:

Provar que, em qualquer triângulo [tex3]ABC,[/tex3] de circuncentro [tex3]O[/tex3] e ortocentro [tex3]H,[/tex3] vale:

i) o baricentro [tex3]G[/tex3] é colinear com [tex3]O[/tex3] e [tex3]H[/tex3] e [tex3]\overline{HG}=\frac{2}{3}\overline{HO}[/tex3] (obs: a reta que passa pelos três pontos é conhecida como Reta de Euler do triângulo [tex3]ABC);[/tex3]
ii) o círculo que passa pelos três pontos médios dos lados de [tex3]ABC[/tex3] passa também pelos três pés das alturas de [tex3]ABC[/tex3] e também pelos pontos médios dos segmentos [tex3]HA, HB[/tex3] e [tex3]HC[/tex3] (obs: tal círculo é chamado de Círculo dos Nove Pontos do triângulo [tex3]ABC)[/tex3] e
iii) o centro desse círculo é o ponto médio [tex3]M[/tex3] do segmento [tex3]HO.[/tex3]

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  AD50.png (13.81 KiB) Exibido 8518 vezes

[Eusouumbolinhodebatata]

Então eu também lhe farei outro desafio:

Prove que o círculo dos nove pontos é tangente aos quatro círculos tritangentes de um triângulo, isso é, os círculos que tangenciam as retas suporte dos lados.

[cajuADMIN]

Olá,

Estou transcrevendo a resolução do triplebig para retirar as imagens externas.

Círculo dos nove pontos:

circulo_9_pontos.png (20.57 KiB) Exibido 7658 vezes

[tex3]\begin{array}{l|}
M_{\tiny B}H_{\tiny A}=\frac{b}{2}
\\M_{\tiny C}H_{\tiny A}=\frac{b}{2}
\\M_{\tiny B}H_{\tiny C}//H_{\tiny A}M_{\tiny A}
\end{array}\Rightarrow M_{\tiny A}H_{\tiny A}M_{\tiny B}M_{\tiny C}[/tex3] é um trapézio isósceles. Portanto, inscritível.

Analogamente, [tex3]M_{\tiny A}M_{\tiny C}H_{\tiny C}M_{\tiny B}[/tex3] e [tex3]M_{\tiny A}M_{\tiny C}M_{\tiny B}H_{\tiny B}[/tex3] também são.
Com isso, todos os pontos [tex3]M_{\tiny A}[/tex3], [tex3]M_{\tiny B}[/tex3], [tex3]M_{\tiny C}[/tex3], [tex3]H_{\tiny A}[/tex3], [tex3]H_{\tiny B}[/tex3] e [tex3]H_{\tiny C}[/tex3] são concíclicos.

circulo_nove_pontos_b.png (18.58 KiB) Exibido 7658 vezes

[tex3]M_{\tiny B}X_{\tiny A}[/tex3] é a base média do [tex3]\triangle ACH[/tex3]

[tex3]M_{\tiny A}M_{\tiny B}[/tex3] é a base média do [tex3]\triangle ACB[/tex3]

Como [tex3]HC\perp AB[/tex3], temos que [tex3]\widehat{M_{\tiny A}M_{\tiny B}X_{\tiny A}}=90^{\circ}[/tex3].

Portanto, o quadrilátero [tex3]M_{\tiny A}X_{\tiny A}M_{\tiny B}H_{\tiny A}[/tex3] é inscritível.

Analogamente, [tex3]X_{\tiny B}[/tex3] e [tex3]X_{\tiny C}[/tex3] também fazem parte dessa circunferência.

Grande abraço,
Prof. Caju

[cajuADMIN]

Reta de Euler

reta_de_euler.png (19.46 KiB) Exibido 7655 vezes

[tex3]X=AM_{ A}\cap OH[/tex3]

[tex3]\triangle AHC[/tex3] ~ [tex3]\triangle M_{A}OM_{C}[/tex3] (AAA)

[tex3]\frac{M_{A}M_{C}}{AC}=\frac{OM_{A}}{AH}=2[/tex3]

[tex3]\triangle AHX[/tex3] ~ [tex3]\triangle M_{A}OM_{C}[/tex3] (AAA)

[tex3]\frac{OM_{A}}{AH}=\frac{OX}{XH}=2\,\,\xrightarrow\,\, \boxed{\underbrace{OX=2\cdot XH}_{\text{X eh o baricentro de }\triangle ABC}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju