IME/ITA ⇒ (Saraeva) Cinética Tópico resolvido

[theblackmamba]

Determinar a magnitude da aceleração do corpo A que desliza com velocidade inicial nula pelo canal helicoidal com altura h e raio R no final da enésima volta. Desprezar o atrito.

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[aleixoreis]

Prezado theblackmamba:

Problema interessante esse mas,não consegui desenhar a questão.Vou tentar explicar:
O movimento do corpo é constituído de um movimento para baixo e um movimento circular. Logo existem duas velocidades [tex3]v_1\,\,e\,\,v_2[/tex3]. [tex3]v_1[/tex3] faz um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com [tex3]v[/tex3]
[tex3]v_1=vcos \alpha \,\,e\,\, v_2=vsen \alpha[/tex3] saõ as componentes da [tex3]v[/tex3] do corpo.
Temos também 3 acelerações: centrípeta [tex3]a_c[/tex3]; tangencial [tex3]a_1[/tex3] e outra na vertical. Esta última é nula porque o movimento para baixo é uniforme.
A aceleração procurada é:[tex3]a=\sqrt{a_c^2+a_1^2}[/tex3].....(I)
[tex3]a_c=\frac{v_1^2}{r}=\frac{v^2cos^2\alpha}{r}[/tex3]

Vamos para o cos [tex3]\alpha[/tex3]:
Se vc pega uma folha retangular de papel,traça uma diagonal e enrola o papel como um cilindro, vai ver que a diagonal forma uma espira e que as duas pontas dessa espira estão na mesma vertical. Abrindo o cilindro, pode-se ver que a diagonal é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Se imaginarmos que o cilindro de papel é igual ao cilindro da questão, o lado horizontal do triângulo corresponde à base do cilindro e tem comprimento [tex3]2\pi r[/tex3] e o outro lado é igual a h.
O ângulo [tex3]\alpha[/tex3] citado antes é o mesmo que aquele formado pela hipotenusa e o lado horizontal.

Então: [tex3]cos \alpha=\frac{2\pi r}{\sqrt{h^2+4\pi ^2r^2}}[/tex3] e [tex3]sen \alpha=\frac{h}{\sqrt{h^2+4\pi^2 r^2}}[/tex3]
Se considerarmos o triângulo retângulo como um plano inclinado, temos que a aceleração de um corpo nesse plano é:[tex3]a_1=gsen\alpha[/tex3]
Logo: [tex3]a_1=\frac{gh}{\sqrt{h^2+4\pi^2 r^2}}[/tex3]

Usando a conservação de energia do corpo desde o início da trajetória até o final do movimento: [tex3]\frac{mv^2}{2}=mgnh[/tex3] ( nh é a altura total do cilindro), então: [tex3]v^2=2gnh[/tex3]

Como [tex3]a_c=\frac{v^2cos^2\alpha}{r} , \,\,fica:\,\, a_c=\frac{8ghn\pi^2 r}{h^2+4\pi r^2}[/tex3]

Substituindo [tex3]a_c\,\,e\,\,a_1[/tex3] em (I) e após um cálculo meio trabalhoso, vem:
[tex3]a=\frac{gh\sqrt{h^2+4\pi^2r^2+64\pi^{4}n^2r^2}}{h^2+4\pi^2r^2}[/tex3]

Espero que vc entenda.Alguma dúvida, pergunte.
[ ]'s.