IME / ITA ⇒ Polinômios - Maratona de Mat. II - Problema 6

[miguel747]

Problema 6

(IME - 2000) Considere o polinômio de grau mínimo, cuja representação gráfica passa pelos pontos P1(−2,−11), P2(−1, 0), P3(1, 4) e P4(2, 9).

a) Determine os coeficientes do polinômio.

b) Calcule todas as raízes do polinômio.

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Solução do problema 6 da Maratona de Matemática IME/ITA II (um pouco mais explicativa)

a) Bem analisando a questão temos o seguinte:

grafico2.png (12.33 KiB) Exibido 3123 vezes

Caso 1 - [tex3]P(x)[/tex3] é um polinômio de grau 1;
Observa que se [tex3]P(x)[/tex3] é da forma [tex3]ax+b\,\, \forall a\neq 0[/tex3], [tex3]P(x)[/tex3] é uma reta, o que não verifica, posto que os pontos [tex3]P_1[/tex3] a [tex3]P_4[/tex3] não são colineares.

Caso 2 - [tex3]P(x)[/tex3] é um polinômio de grau 2;
Observa que se [tex3]P(x)[/tex3] é da forma [tex3]ax^2+bx+c\,\, \forall a\neq 0[/tex3], [tex3]P(x)[/tex3] é uma parábola, o que não verifica, posto que não há eixo de simetria.

Caso 3 - [tex3]P(x)[/tex3] é um polinômio de grau 3;
Assim teremos que montar um sistema de equação e verificar:
[tex3]P_1[/tex3](−2,−11),[tex3]P_2[/tex3](−1, 0), [tex3]P_3[/tex3](1, 4) e [tex3]P_4[/tex3](2, 9)

[tex3]\begin{cases}P_1(-2) = a(-2)^3 + b(-2)^2+c(-2)+d = -11\\P_2(-1) = a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+d = 0\\P_3(1) = a(1)^3+b(1)^2+c.(1)+d = 4\\P_4(2) = a(2)^3+b(2)^2+c(2)+d = 9\end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow \begin{cases}-8a +4b-2x +d=-11\\-a + b-c+d = 0\\a+b+c+d=4\\8a + 4b +2c+d=9\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema por escalonamento obtemos:
[tex3]\begin{cases}a=1 \\ b=-1 \\ c=1 \\ d=3\end{cases}[/tex3]

Temos o seguinte polinômio: [tex3]P(x) = x^3-x^2+x+3[/tex3].

b) Como [tex3]x = -1[/tex3] é raiz, fato visto pelo ponto [tex3]P(-1,0)[/tex3]. Dai o polinômio possui apenas 1 raiz real e pode existir duas raízes complexas (ela e seu conjugado).

Reescrevendo o polinômio: se [tex3]p[/tex3] é zero de [tex3]P(x)[/tex3], então [tex3]P(x) = ax^3+bx^2+c+d[/tex3], pode ser escrito como [tex3]P(x) = (x-p)k(x)[/tex3], onde [tex3]k(x)[/tex3] é um polinômio de grau [tex3]2[/tex3].

Assim, [tex3]P(x) = x^3-x^2+x+3 = (x-1)(x^2-2x +3)[/tex3].

Resolvendo a eq. do 2º [tex3]x^2-2x +3[/tex3] resulta em [tex3]1 + \sqrt{2i}[/tex3] e [tex3]1 - \sqrt{2i}[/tex3].

Como queremos o polinômio de grau mínimo, o polinômio de grau 3 satisfaz a condição proposta.

Abs,

PS.: o que achei interessante era tentar fazer essa questão por interpolação, vou tentar mais tarde pra ver se sai alguma coisa.

[FelipeOBala]

Fiz a solução com interpolador, sai legal.
Segue em anexo