Ensino Médio ⇒ Progressões Aritméticas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Sejam [tex3](a_n)=(a_1,{ a_2},{ a_3},\text{ ...})[/tex3] e [tex3](b_n)=(b_1,{ b_2},{ b_3}, ...)[/tex3] progressões aritméticas não constantes de números naturais com razões [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3], respectivamente, tais que [tex3]a_1=b_1[/tex3] e [tex3]a_4=b_3[/tex3]. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

(1) [tex3]\frac{r}{s}=\frac{4}{3}[/tex3].
(2) [tex3]a_{148}=b_{98}[/tex3].
(3) Seja [tex3](c_n)[/tex3] a [tex3]PA[/tex3] crescente formada pelos elementos comuns às sequências [tex3](a_n)[/tex3] e [tex3](b_n)[/tex3], então a razão [tex3]t[/tex3] de [tex3](c_n)[/tex3] é [tex3]t=mmc(r,s)[/tex3].
(4) Seja [tex3](d_n)[/tex3] a [tex3]PA[/tex3] crescente obtida pela diferença de termos correspondentes das sequências [tex3](a_n)[/tex3] e [tex3](b_n)[/tex3], então o razão [tex3]u[/tex3] de [tex3](d_n)[/tex3] é [tex3]u=\\mdc(r,s)[/tex3].

Resposta

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E, E, C, C

[theblackmamba]

Olá ALDRIN,

Fiz desta maneira:

[tex3]a_4 = a_1 + 3r[/tex3]
[tex3]b_3 = b_1 + 3r[/tex3]
[tex3]\underbrace{b_3 - b_1}_{2s} = 3r[/tex3]
[tex3]2s = 3r[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{r}{s} = \frac{2}{3}}[/tex3]

[tex3]a_{148} = a_1 + 147r[/tex3]
[tex3]a_{148} = b_1 + \frac{147 \cdot 2s}{3}[/tex3]
[tex3]a_{148} = b_1 + 98s[/tex3]
[tex3]\boxed{a_{148} = b_{99}}[/tex3]

Para facilitar tome s = 3 (r = 2), assim temos as PA's (começando com [tex3]a_1 = b_1 = 1[/tex3] para facilitar a visualização):
[tex3]PA_a:\{1\, 3,\, 5\,...\}[/tex3]
[tex3]PA_b:\{1,\,4,\,7\,...\}[/tex3]

A PA de elementos comuns (perceba que os termos da primeira PA coincide com a segunda de 4 em 4 números) será:
[tex3]PA_{ab}:\{1,\,7 \,13\,...\}[/tex3]

Logo a razão [tex3]\boxed{t = 6 = mmc(r,s)}[/tex3]

A PA da diferença dos termos correspondentes das duas PA's (notável, pois a cada elemento da segunda PA é superior a cada elemento da primeira em uma PA) será :
[tex3]PA:\{0 ,\, 1 ,\, 2\,...\}[/tex3]

Logo a razão será [tex3]\boxed{u=1 = mdc(r,s)}[/tex3]
Note que devemos fazer a diferença [tex3]PA_b - PA_a[/tex3] para a PA resultante ser crescente.

Itens corretos: 3,4
Itens incorretos: 1,2

Abraço.