IME / ITA ⇒ Colégio Naval 1985 Conjuntos Tópico resolvido

[gabrielifce]

Considere os conjuntos M pares ordenados [tex3](x,\, y)[/tex3] que satisfazem a equação [tex3](a_1x + b_1y+ c_1).(a_2x+b_2x+c_2) = 0[/tex3] e N dos pares ordenados [tex3](x,\, y)[/tex3] que satisfazem o sistema : [tex3]\begin{cases} a_1x + b_1y+ c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}[/tex3]

Sendo [tex3]a_1.b_1.c_1.a_2.b_2.c_2 \neq 0,[/tex3] pode-se afirmar que:

[tex3]a)\, M=N \\ b)\, M \cup N=M \\ c)\, M \cap N= \phi \\ d)\, M \cup N=N \\ e)M \cap N \neq \phi[/tex3]

Essa foi um tipo de questão que li e disse ãnh?

Resp: item B

[Natan]

Olá amigo,

antes de encarar as alternativas, vamos entender direito o que cada um dos conjuntos significa:

Conjunto M:

[tex3](a_1x + b_1y+ c_1).(a_2x+b_2x+c_2) = 0[/tex3]

o produto acima só irá se anular se ao menos uma das parcelas se anular concorda? assim:

[tex3](a_1x + b_1y+ c_1)=0\, ou\, (a_2x+b_2x+c_2) = 0[/tex3]

note que essas são equações genéricas de retas em [tex3]\Re^2.[/tex3] Logo M está representando a união dos pontos pontos da reta [tex3]r_1:\, (a_1x + b_1y+ c_1)=0[/tex3] com os da reta [tex3]r_2:\, (a_2x+b_2x+c_2) = 0.[/tex3]

Conjunto N:

[tex3]\begin{cases} a_1x + b_1y+ c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}[/tex3]

o sistema acima pode ter uma, infinitas ou nenhuma solução, dependendo do valor do determinante:

[tex3]\left|\begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array}\right|=a_1b_2-a_2b_1 \neq 0[/tex3]

o determinante acima claramente é não nulo pois [tex3]a_1b_2 \neq 0\, e\, a_2b_1 \neq 0[/tex3] já que se fosse, o produto [tex3]a_1.b_1.c_1.a_2.b_2.c_2[/tex3] seria nulo, o que não ocorre por hipótese. Assim o sistema acima tem solução única, logo o conjunto N representa apenas 1 ponto( o ponto de interseção das retas [tex3]r_1\, e\, r_2)[/tex3]

Agora podemos analisar as alternativas:

a) Falsa

óbvio do exposto acima, pois M representa infinitos pontos e N representa um único ponto.

b) Verdadeira

M representa infinitos pontos mais o ponto P, de interseção entre as retas. N representa apenas o ponto P.

logo a união são os infinitos pontos mais o ponto P, que é exatamente o que descreve o conjunto M.

c) Falsa

veja que a interseção é exatamente o ponto P, de interseção entre ambas. Logo o conjunto M inter N possui 1 elemento e não 0 como diz a alternativa.

d) Falsa

imediatamente incorreta, vista a explicação da letra b.

e) Verdadeira

também correta vide a letra c.

[petrasMOD]

O correto seria [tex3](a_1x + b_1y+ c_1).(a_2x+b_2{\color{red}y}+c_2) = 0[/tex3]