Pré-Vestibular ⇒ (UFPE - 1991) Números Complexos Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Seja [tex3]r[/tex3] a parte real da raiz cúbica de [tex3]800i[/tex3] que fica no primeiro quadrante [tex3](i=\sqrt{-1})[/tex3]. Encontre o número inteiro [tex3]N[/tex3], tal que [tex3]N \leq r < N+1[/tex3].

[poti]

[tex3]z = 800cis(\frac{\pi}{2})[/tex3]

Pela radiciação de Moivre:

[tex3]\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{800}cis(\frac{\frac{\pi}{2}}{3} + k. \frac{2 \pi}{3}), \ k=0,1,2[/tex3]

Pensando na raiz cúbica natural de 800:

[tex3]10^3 = 1000[/tex3]
[tex3]9^3 = 729[/tex3]

Está mais próximo do [tex3]9[/tex3].

[tex3](9,5)^3 \approx 857[/tex3]
[tex3](9,3)^3 \approx 804[/tex3]
[tex3](9,2)^3 \approx 778[/tex3]
[tex3](9,25)^3 \approx 791[/tex3]


Eis o que nós procurávamos.

Então, [tex3]9,25 < \sqrt[3]{800} < 9,3[/tex3].

[tex3]\sqrt[3]{z} = (9,x).cis(\frac{\pi}{6} + k. \frac{2 \pi}{3}), \ k=0,1,2[/tex3]

Fazendo para [tex3]k = 0[/tex3], [tex3]cis[/tex3] é calculado para [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3]:

[tex3](9,x).\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}[/tex3]

Ambas partes do complexo são positivas, então essa é a raiz do primeiro quadrante. Imaginando os casos extremos:

[tex3]x = 25[/tex3]: [tex3]9,25 .\frac{\sqrt{3}}{2} = 4,62 . \sqrt{3} \approx 4,625 . 1,73 = 8,01[/tex3]
[tex3]x = 3[/tex3]: [tex3]9,3 .\frac{\sqrt{3}}{2} = 4,65 . \sqrt{3} \approx 4,65 . 1,73 = 8,045[/tex3]

Portanto, [tex3]\boxed{N = 8}[/tex3]

[tex3]8 < r < 9[/tex3].

[FilipeCaceres]

Olá a todos,

Achei um pouco estranho o enunciado e resolvi olhar uma prova. Percebi que o enunciado transcrito está errado.
Seja r a parte real da raiz cúbica de 8000i que fica no primeiro quadrante...

Dado: [tex3]\sqrt{3}=1,73[/tex3]

Solução:
Temos,
[tex3]\sqrt[3]{8000i}=20\sqrt[3]{i}[/tex3]

[tex3]20(cis \frac{\pi}{2})^{\frac{1}{3}}=20.cis\frac{\pi}{6}[/tex3]

Como [tex3]r[/tex3] é a parte real, temos que
[tex3]r=20.\cos\frac{\pi}{6}[/tex3]
[tex3]r=20.\frac{\sqrt{3}}{2}=10.1,73[/tex3]
[tex3]r=17,3[/tex3]

Assim temos,
[tex3]N \leq 17,3< N+1[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{N=17}[/tex3]

Abraço.