IME / ITA ⇒ (IME - 1954) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Em uma circunferência de diâmetro [tex3]AB=2R[/tex3], traça-se uma corda [tex3]AC[/tex3] que forma com [tex3]AB[/tex3] um ângulo [tex3]\alpha[/tex3]. Achar [tex3]\alpha[/tex3] de modo que, fazendo-se girar a figura e torno de [tex3]AB[/tex3], a área gerada pela corda [tex3]AC[/tex3] seja equivalente a [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] da área gerada pelo arco [tex3]BC[/tex3].

Resposta

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Gab. : [tex3]30^\circ[/tex3].

[adrianotavares]

Olá,Aldrin.

Geometria Espacial

(IME-1954)Geometria Espacial.png (4.8 KiB) Exibido 744 vezes

A área gerada pela corda AC é a área lateral do cone de geratriz AC e raio h.

A área gerada pelo arco BC é a área de uma calota esférica de altura x.

O triângulo ABC é retângulo,pois está inscrito numa semicircunferência.

Aplicando as relações métricas teremos:

[tex3]h=\sqrt{(2R-x^2}[/tex3]

Aplicando Pitágoras no triângulo ACP teremos:

[tex3](AC)^2=(AP)^2+(CP)^2) \Rightarrow (AC)^2=2R^2-x^2+4R^2-4Rx+x^2 \Rightarrow AC=\sqrt{4R^2-2Rx}[/tex3]

De acordo com o enunciado teremos:

[tex3]\pi h .(AC)=2\pi Rx \Rightarrow \pi \sqrt{2Rx-x^2}.\sqrt{4R^2-2Rx}=\frac{3}{2}.2\pi Rx[/tex3]

Elevando ambos os membros ao quadrado teremos:

[tex3]9R^2x^2=8R^3x-4R^2x^2-4R^2x^2+2Rx^3[/tex3]

Dividindo turo por [tex3]Rx[/tex3] teremos:

[tex3]8R^2-17Rx+2x^2=0[/tex3]

Resolvendo essa equação do 2ºgrau na variável [tex3]R[/tex3] encontraremos [tex3]R=2x[/tex3]

[tex3]h=\sqrt{2Rx-x^2} \Rightarrow h=\sqrt{2.2x.x-x^2} \Rightarrow h=x\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]2R-x =2.2x-x=3x[/tex3]

[tex3]tg \alpha=\frac{x\sqrt{3}}{3x} \Rightarrow tg \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \alpha =30^\circ[/tex3]