(Romênia - 1998) Geometria Espacial - Estude! Com Prof. Caju

Olimpíadas ⇒ (Romênia - 1998) Geometria Espacial Tópico resolvido

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theblackmamba Offline: Mensagens: 3723; Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43; Localização: São Paulo - SP; Agradeceu: 806 vezes; Agradeceram: 2294 vezes

Fev 2012 10 14:49

(Romênia - 1998) Geometria Espacial

Mensagempor theblackmamba » 10 Fev 2012, 14:49

Mensagem por theblackmamba » 10 Fev 2012, 14:49

O volume de um paralelepípedo é [tex3]216\text{ cm}^2[/tex3] e a sua área total é [tex3]216 \text{ cm}^2[/tex3]. Mostre que o paralelepípedo é um cubo.

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"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

theblackmamba

adrianotavares Offline: Mensagens: 1501; Registrado em: 02 Jul 2008, 22:12; Agradeceram: 217 vezes

Fev 2012 10 15:59

Re: (Romênia - 1998) Geometria Espacial

Mensagempor adrianotavares » 10 Fev 2012, 15:59

Mensagem por adrianotavares » 10 Fev 2012, 15:59

Olá,teblackmamba.

[tex3]V=216 \text{cm^3}[/tex3]

Seja [tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] os lados do paralelepípedo.De acordo com o enunciado teremos:

[tex3]a.b.c=216[/tex3]

[tex3]2(ab+ac+bc)=216 \Rightarrow ab+ac+bc=108[/tex3]

Sendo o produto constante, a soma é mínima quando os três termos são iguais.Logo teremos:

[tex3]3a^2=108 \Rightarrow a^2=36 \Rightarrow 6[/tex3]

[tex3]a=b=c=6[/tex3]

[tex3]V=6^3 =216 \text{cm^3}[/tex3]

[tex3]A=6.a^2=6.36=216 \text{ cm}^2[/tex3]

Creio que seja isso.

Editado pela última vez por adrianotavares em 10 Fev 2012, 15:59, em um total de 1 vez.

adrianotavares

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Primeira Postagem

Aron

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo acutângulo, e seja [tex3]T[/tex3] um ponto no interior tal que [tex3]<ATB = <BTC = <CTA[/tex3]. Sejam [tex3]M, N[/tex3] e [tex3]P[/tex3] as projeções de [tex3]T[/tex3] sobre [tex3]BC[/tex3], [tex3]AC[/tex3]...

Últ. msg

geobson

Segue link , para entender mais sobre o teorema de Napoleão:

viewtopic.php?p=307637#p307637
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Auto Excluído (ID: 25040)

(Romênia) Sejam ABC um triângulo isósceles com AB = AC, D o ponto
médio de BC, M o ponto médio de AD e N a projeção de D sobre BM. Prove que ∠ANC = 90º
gostaria de uma solução por plana, já vi uma usando analítica

.

Últ. msg

Ittalo25

Essa deu trabalho, quase 3 horas

- <NBD = <NDM. Isso é fácil de ver já que: <NDM+<NDB = 90° e <NDB+<NBD = 90°.
- Rotacionando o triângulo DCA ele é transformado no triângulo FCA. Obviamente FDAC é inscritível: <CDA+<CFA = 90°+90°
- Agora veja q...
geobson1Ittalo251Auto Excluído (ID: 25040)2: 3 Resp.; 1374 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
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Primeira Postagem

rean

Encontre a maior área possível de um heptágono com duas diagonais perpendiculares inscrita em um círculo de raio unitário.

Últ. msg

geobson

......................up,,,,,,,,,,,
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Primeira Postagem

Aron

Considere a função quadrática [tex3]f(x)=x^{2}+(a+b+c)x+\lambda(ab+ac+bc)[/tex3] onde [tex3]a,\ b,\ c[/tex3] são reais positivos e [tex3]\lambda[/tex3] um real. Prove que:

a) Se [tex3]\lambda\leq \frac{3}{4}[/tex3], a função possui raízes...

Últ. msg

Aron

para a função quadrática possuir raízes reais o [tex3]\Delta \geq 0[/tex3], então

[tex3]f(x)=x^{2}+(a+b+c)x+\lambda(ab+ac+bc)[/tex3]

[tex3](a+b+c)^2-4\lambda (ab+ac+bc)\geq 0\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 4\lambda(ab+ac+bc)[/tex3]

como [tex3]a,b,c >0[/tex3]...
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theblackmamba

Questão interessante:

Seja [tex3]n[/tex3] um inteiro positivo. Encontre a soma de todos o números entre [tex3]n^2-n+1[/tex3] e [tex3]n^2+n+1[/tex3].

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Cássio

Ok. Considere [tex3]k=n^2-n+2,[/tex3] que é o primeiro número par depois de [tex3]n^2-n+1.[/tex3] O primeiro número par antes de [tex3]n^2+n+1[/tex3] é [tex3]n^2+n=k+2n-2[/tex3]

Então queremos a soma [tex3]k+(k+2)+...+(k+2n-2)=\dfrac{(k+k+2n-2)n}{2}=\dfrac{(2n^2+2)n}{2}=n^3+n.[/tex3]
Cássio3theblackmamba3: 5 Resp.; 1343 Exibições; Últ. msg por Cássio
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