IME / ITA ⇒ Solução alternativa Problema 8 - Maratona de Matemática II

[miguel747]

(IME-2002) Resolva a equação [tex3]\sqrt{5-\sqrt{5-x}}=x[/tex3], sabendo-se que [tex3]x>0[/tex3]

Solução do Problema 8 - alternativa

Utilizando uma propriedade muito interessante de função inversa e função composta, podemos resolver este problema:

Proposição
Dada as funções [tex3]f[/tex3]e [tex3]g[/tex3], dizemos que [tex3]f[/tex3]e [tex3]g[/tex3]são inversas uma da outra se, e somente se:

[tex3]f(g(x)) = x[/tex3] and [tex3]g(f(x)) = x[/tex3],

para qualquer valor de x pertencente aos seus respectivos domínios.

Resolvendo a equação temos:

[tex3]\sqrt{5 - \sqrt{5-x}} = x\Rightarrow 5-\sqrt{5-x} = x^2\Rightarrow \boxed{\sqrt{5-x} = -x^2+5}[/tex3]

Denotamos como: [tex3]f(x) = \sqrt{5-x}[/tex3] e [tex3]g(x) = -x^2+5[/tex3].

Aplicando a proposição temos:

[tex3]f(g(x)) = \sqrt{5-g(x)} = \sqrt{5-(-x^2+5)} = \sqrt{5+x^2-5} = \pm x[/tex3], mas pelo enunciado sabe-se que [tex3]x>0[/tex3], então [tex3]f(g(x)) = x[/tex3].

Da mesma forma:

[tex3]g(f(x)) = -(f(x))^2+5 = -(\sqrt{5-x})^2 + 5 = -(5-x)+5 = x[/tex3].

Portanto: [tex3]f(g(x)) = g(f(x)) = x[/tex3], Logo [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] são inversas uma da outra.

Como uma das características de uma função inversa é que ambas são simétricas uma a outra em relação a reta que divide os quadrantes impares, ou seja, a reta [tex3]y = x[/tex3].

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Assim, basta utilizar qualquer uma das igualdades acima que o resultado será o mesmo (conforme nota-se no gráfico):
[tex3]f(x) = x[/tex3], ou [tex3]g(x) = x[/tex3].

Então,

[tex3]\sqrt{5-x} = x\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, 5-x = x^2\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,x^2 +x -5 =0[/tex3]

Como não importa a outra solução observada no gráfico, posto que [tex3]x>0[/tex3], temos:

[tex3]\boxed{x = \frac{\sqrt{21} - 1}{2}}[/tex3]