Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Plano e Esfera

[ALDRINMOD]

Em [tex3]R^3[/tex3], o plano de equação [tex3]2x-2y+z+6=0[/tex3] secciona a esfera que tem para sua superfície a equação
[tex3]x^2+y^2+z^2-4x+2z-20=0[/tex3], então a área de tal secção vale:

Resposta:

---

[tex3]16\pi[/tex3].

[tex3]\,[/tex3]

[ALDRINMOD]

Alguém??

[Natan]

Tem certeza que os dados estão todos certinhos? achei um valor diferente aqui

[ALDRINMOD]

Acabei de conferir e o enunciado é esse mesmo.

[Natan]

e quanto ao gabarito, num falta nada?

[ALDRINMOD]

Conferi tanto o enunciado quanto o gabarito!!! Se há algo errado eu não sei!!!!

[Natan]

Bom vou postar o que consegui aqui então.

a interseção é dada resolvendo o sistema:

[tex3]\begin{cases}(x-2)^2+y^2+(z+1)^2=25 \\ z=-2x+2y-6\end{cases}[/tex3]

[tex3](x-2)^2+y^2+(-2x+2y-5)^2=25\, \Right\, 5x^2+5y^2-8xy+16x-20y+4=0[/tex3]

isso é uma cônica, onde a presença de um termo em xy indica que ela foi rotacionada e os termos lineares( os que acompanham x e y) indicam que ela também foi deslocada( o centro não está na origem).

a idéia aqui é desfazer toda essa bagunça, traduzindo: trazer o centro para a origem e rotacioná-la de volta de modo que o termo misto xy suma!!

a teoria por trás do que vou fazer aqui é um tanto longa porém o resultado final é rápido e super útil, vou apresenta-lo caso vc não conheça, se precisar de mais informações pode consultar o livro de Cálculo do Thomas, volume 2:

Uma cônica em geral, é dada por uma equação da forma:

[tex3]f(x,\, y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/tex3]

e após trazermos o seu centro de volta a origem e rotacionarmos a msm de modo que o termo xy desapareça ela fica da forma:

[tex3]A^{'}x^2+B^{'}y^2+F^{'}=0[/tex3]

inicialmente resolvemos o sistema:

[tex3]\begin{cases}2Ax+By+D=0 \\ Bx+2Cy+E=0\end{cases}[/tex3] de onde vem: [tex3](x,\, y)=(a,\, b)[/tex3]

daí [tex3]F^{'}=f(a,\, b)\cdot [/tex3]

as constantes [tex3]A^{'}\, e\, B^{'}[/tex3] são soluções do sistema: [tex3]\begin{cases}A^{'}+C^{'}=A+C \\ A^{'}\cdot C^{'}=\frac{B^2-4AC}{-4}\end{cases}[/tex3]

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uma vez informado sobre os conhecimentos acima vamos aplica-lo ao nosso caso:

[tex3]f(x,\, y)=5x^2+5y^2-8xy+16x-20y+4=0[/tex3]

começamos pelo sistema:

[tex3]\begin{cases}10x-8y=-16 \\ -8x+10y=20\, \Right\, (a,\, b)=(0,\, 2)\end{cases}[/tex3] e daí [tex3]F^{'}=f(0,\, 2)=-16[/tex3]

o segundo sistema é:

[tex3]\begin{cases}A^{'}+C^{'}=10 \\ A^{'}C^{'}=9\end{cases}[/tex3] e daí [tex3]A^{'}=1,\, C^{'}=9[/tex3]

e a equação desfeita todas as mudanças que complicam a cônica é:

[tex3]\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{\frac{16}{9}}=1[/tex3]

obviamente rotações e translações não mudam a área de uma figura, lembrando então a fórmula da área da elipse: [tex3]A=4\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi=\frac{16\pi}{3}[/tex3]