Olimpíadas ⇒ (Turquia - 1997) Aritmética Tópico resolvido

[Cássio]

Encontre todos os pares de inteiros [tex3](x,y)[/tex3] tais que [tex3]5x^2-6xy+7y^2=383.[/tex3]

[Vinisth]

Olá Cássio,

[tex3]5x^2-6xy+7y^2=383\iff 5x^2-x(6y)+(7y^2-383)=0[/tex3]
O discriminante será :
[tex3](6y)^2-4\cdot5(7y^2-383)>0 \implies \ \ y^2<74[/tex3],
Então, temos o conjunto [tex3]y = 1,2,3,4,5,6,7,8[/tex3], tais que :
[tex3]f(x,y)=5x^2-x(6y)+(7y^2-383)[/tex3]

Perceba que para os inteiros somente quando [tex3]y = 3[/tex3] dá [tex3]x =10[/tex3],
logo:
Uma solução inteira [tex3](10,3)[/tex3]
Espero que seja isso !

Abraço.

[manerinhu]

vale lembrar que [tex3]y^2<74 \implies |y| < 8.6 \implies -8<y<8[/tex3]
[tex3]y = -3[/tex3] também é resposta, mas será q nao tem outro jeito de resolver, sei lá, fatorando?

[Vinisth]

Ahh sim, são os inteiros. Estava levando em consideração apenas os inteiros positivos. Com isso, duas soluções.
Eu pensei em fatorar também, mas mão tem como fatorar essa equação, uma saída do problema é analisando o discriminante mesmo.

Um forte abraço !