Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana: Ângulos na Circunferência Tópico resolvido

[triplebig]

Como que se prova o seguinte teorema:

Todo ângulo inscrito em uma circunferência que determina um mesmo arco é igual.

[italoemanuell]

OLá triplebig!!

Kara,achei um site que fala no que você pede,acho pelo menos!!

http://pessoal.sercomtel.com.br/matemat ... m-circ.htm

Espero ter ajudado!!

Abraços....



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"A Matemática possui uma força maravilhosa capaz de nos fazer compreender muitos mistérios de nossa fé. (SÃO JERÔNIMO)"

[cajuADMIN]

Olá triplebig e italoemanuel,

Neste link não há uma demonstração para o pedido. Por isso coloco aqui.

Na verdade, podemos demonstrar as duas propriedades pedidas por você em uma só demonstração.

Veja a figura abaixo:

2_circulo_1.jpg (14.5 KiB) Exibido 155 vezes

Vamos tratar os pontos B e C como sendo fixos e o ponto A, sem perda de generalidade, como sendo qualquer ponto sobre a circunferência.

Já que temos OB = OC = raio, temos os ângulos OBC e OCB iguais (já denomidados como Z na figura). E como BOC vale y, podemos dizer [tex3]y+2z=180\rightarrow 2z=180-y[/tex3]

Como OB = OA = raio, também temos os ângulos OBA e BAO iguais a [tex3]x+k[/tex3].

Como OA = OC = raio, temos que os ângulos OAC e OCA são iguais a [tex3]k[/tex3].

Agora podemos pensar no triângulo [tex3]ABC[/tex3], cuja soma dos ângulos internos vale 180 graus:

[tex3]BAC + ACB + CBA = 180[/tex3]

[tex3]x + (z - k) + (z + x+k) = 180[/tex3]

[tex3]2x+2z=180[/tex3]

[tex3]2x+180-y=180[/tex3]

[tex3]x=\frac{y}{2}[/tex3]

Veja que além de provarmos que um ângulo é a metade de outro, provamos também que, se [tex3]y[/tex3] for um valor constante, [tex3]x[/tex3] também será (lembrando que A pode ser um ponto qualquer da circunferência). Como queríamos demonstrar.

[triplebig]

Olá prof caju,

Mt obrigado pela sua demonstração.

abraços