Olimpíadas ⇒ (Bulgária) Sistema Tópico resolvido

[theblackmamba]

Seja [tex3](x,y,z)[/tex3] as soluções do sistema de equações:

[tex3]\{x+y+z=a \\ x^2+y^2+z^2=b^2 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{c}[/tex3]

Ache a soma: [tex3]x^3+y^3+z^3[/tex3].

[poti]

Primeira equação (I), Segunda equação (II), Terceira equação (III).

Reescrevendo (III):

[tex3]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{c}[/tex3]

[tex3]\frac{xy + xz + yz}{xyz} = \frac{1}{c}[/tex3]

[tex3]\boxed{xyz = c(xy + xz + yz)}[/tex3] (IV)

Reescrevendo (II):

[tex3]x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy + xz + yz) = b^2[/tex3]

Substituindo (I):

[tex3]x^2 + y^2 + z^2 = \boxed{a^2 - 2(xy + xz + yz) = b^2}[/tex3]

[tex3]2(xy + xz + yz) = a^2 - b^2[/tex3]

[tex3]\boxed{xy + xz + yz = \frac{a^2 - b^2}{2}}[/tex3] (V)

Substituindo (V) em (IV):

[tex3]\boxed{xyz = c(\frac{a^2 - b^2}{2})}[/tex3] (VI)

Agora precisamos montar um polinômio que aceite as soluções [tex3](x,y,z)[/tex3] para usar o Teorema de Newton-Girard.

[tex3]P(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C[/tex3]

Pelas relações de Girard:

[tex3]x + y + z = -A[/tex3], [tex3]xy + xz + yz = B[/tex3], [tex3]xyz = -C[/tex3]

Fazendo as substituições:

[tex3]A = -a[/tex3], [tex3]B = \frac{a^2 - b^2}{2}[/tex3], [tex3]C = -c(\frac{a^2 - b^2}{2})[/tex3]

Novo polinômio:

[tex3]P(x) = x^3 - ax^2 + \frac{a^2 - b^2}{2}x - c(\frac{a^2 - b^2}{2})[/tex3]

Definição: [tex3]S_k = \sum_{i=0}^n a_i^k[/tex3], onde [tex3]a_i[/tex3] é o termo geral das raízes do polinômio e [tex3]n[/tex3] o grau do mesmo.

Teorema de Newton-Girard: Seja um polinômio qualquer [tex3]Ax^n + Bx^{n-1} + Cx^{n-2} ...... + D[/tex3], então pode-se afirmar que [tex3]A.S_k + B.S_{k-1} + C.S_{k-2} + \underset{i \ parcelas}{\underbrace{......}} + D.S_{k-i} = 0[/tex3].

Sabendo disso:

[tex3]S_3 - a.S_2 + \frac{a^2 - b^2}{2}.S_1 - c(\frac{a^2 - b^2}{2}).S_0 = 0[/tex3]

[tex3]x^3 + y^3 + z^3 - a.(x^2 + y^2 + z^2) + \frac{a^2 - b^2}{2}.(x+y+z) - c(\frac{a^2 - b^2}{2}).(x^0 + y^0 + z^0) = 0[/tex3]

Fazendo as substituições que sabemos:

[tex3]x^3 + y^3 + z^3 - ab^2 + \frac{a(a^2 - b^2)}{2} - 3c(\frac{a^2 - b^2}{2}) = 0[/tex3]

[tex3]\boxed{x^3 + y^3 + z^3 = ab^2 - \frac{a(a^2 - b^2)}{2} + 3c(\frac{a^2 - b^2}{2})}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Vou postar uma solução parecida com a do Poti.

Sejam [tex3]x,y,z[/tex3] raízes do polinômio [tex3]t^3-r.t^2+s.t-u=0[/tex3]. Assim temos,

[tex3]x^3-r.x^2+s.x-u=0[/tex3]
[tex3]y^3-r.y^2+s.y-u=0[/tex3]
[tex3]z^3-r.z^2+s.z-u=0[/tex3]

Somando tiramos que,
[tex3]x^3+y^3+z^3=r(x^2+y^2+z^2)-s(x+y+z)+3u[/tex3]

Onde,
[tex3]r=x+y+z=a[/tex3]
[tex3]s=xy+xz+zy=\frac{(x+y+z)^2-x^2+y^2+z^2}{2}=\frac{a^2-b^2}{2}[/tex3]
[tex3]u=x.y.z[/tex3]

Do enunciado tiramos,
[tex3]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+xz+yz}{x.y.z}=\frac{1}{c}[/tex3]
[tex3]\frac{s}{u}=\frac{1}{c}\rightarrow u=\frac{c(a^2-b^2)}{2}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{x^3+y^3+z^3=a.b^2-\frac{b(a^2-b^2)}{2}+\frac{3c(a^2-b^2)}{2}}[/tex3]

Abraço.

[poti]

Até quando eu consigo responder você melhora, hahahahaha. Muito boa, a minha demorou um pouquinho pra sair, mas pelo menos apliquei o Teorema de Newton-Girard fora daquelas questões de maratona.

Abraço pros dois.

[FilipeCaceres]

Tem uma outra questão que também foi resolvida usando o teorema. AFA-1995

Abraço galera.