Ensino Médio ⇒ Somas das Áreas de Triângulos

[andreluiz]

Calcule a Área dos todos os Triângulos na figura abaixo, onde existe uma
circunferência de raio R dividida em 12 partes iguais.

[diogopfp]

Na figura estão os três primeiros triângulos da sequência.

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Os catetos adjacentes ao ângulo [tex3]\frac{360}{12}=30[/tex3] de cada triângulo formam uma P.G.
[tex3]a_1=R[/tex3]
[tex3]a_2=R\cdot \cos(30)=R\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]a_3=R\cdot \cos(30)\cdot \cos(30)=R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]a_4=R\cdot \cos(30)\cdot \cos(30)\cdot \cos(30)=R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3[/tex3]
.
.
.
[tex3]\boxed{a_n=R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-1}}[/tex3]

Para calcular a área de cada triângulo considere a fórmula [tex3]A=\frac{a\cdot b\cdot \sin(\theta)}{2}[/tex3] de um triângulo ABC com lados [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e ângulo [tex3]\theta[/tex3] entre eles.

Áreas dos triângulos
[tex3]A_1=\frac{a_1\cdot a_2\cdot \sin(30)}{2}=\frac{a_1\cdot a_2}{4}[/tex3]
[tex3]A_2=\frac{a_2\cdot a_3\cdot \sin(30)}{2}=\frac{a_2\cdot a_3}{4}[/tex3]
[tex3]A_3=\frac{a_3\cdot a_4\cdot \sin(30)}{2}=\frac{a_3\cdot a_4}{4}[/tex3]
.
.
.
[tex3]A_n=\frac{a_n\cdot a_{n+1}}{4}[/tex3]
Desenvolvendo a expressão,
[tex3]A_n=\frac{R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-1}R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}{4}[/tex3]
[tex3]A_n=\frac{R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-1}R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-1+1}}{4}[/tex3]
[tex3]A_n=\frac{R^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2(n-1)}}{4}[/tex3]
[tex3]\boxed{A_n=\frac{R^2\sqrt{3}}{8}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}}[/tex3]

Assim a área do n-ésimo triângulo é uma P.G. de razão [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] e [tex3]\frac{R^2\sqrt{3}}{8}[/tex3] como primeiro termo.
A soma das áreas é dada pela soma infinita da P.G.
[tex3]S_\infty=\frac{A_1}{1-q}[/tex3]
[tex3]S_\infty=\frac{\frac{R^2\sqrt{3}}{8}}{1-\frac{3}{4}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{S_\infty=\frac{R^2\sqrt{3}}{2}}}[/tex3]