Olimpíadas ⇒ (Bulgária) Sistema de equações Tópico resolvido

[theblackmamba]

Resolver o sistema de equações:

[tex3]\{ x+y+z=a \\ xy + xz + yz = a^2 \\ xyz=a^3[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá theblackmamba,

Olhando, na hora, para o sistema, você tem que visualizar as três raízes de um polinômio e as relações de Girard.

Vamos chamar o polinômio [tex3]p(t)[/tex3] que possui as raízes [tex3]x[/tex3], [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3].
Assim, temos:

[tex3]p(t)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+xz+yz)t-xyz[/tex3]

[tex3]p(t)=t^3-at^2+a^2t-a^3[/tex3]

Agora vamos encontrar as raízes deste polinômio:

[tex3]t^3-at^2+a^2t-a^3=0[/tex3]

Por inspeção, vemos que [tex3]t'=a[/tex3] é a primeira raiz.

Aplicamos o dispositivo prático de Briot-Ruffini para reduzir o grau do polinômio:

[tex3]\begin{array}{l|r} & 1 & -a & a^2 & | & -a^3 &\\\hline a & 1 & 0 & a^2 & | & 0 & \\\end{array}[/tex3]

Portanto, as outras duas raízes estão na equação [tex3]t^2+a^2=0\,\,\rightarrow \,\,\begin{cases}t''=ai\\t'''=-ai\end{cases}[/tex3].

Assim, os resultados são [tex3]\boxed{\begin{cases}x=a\\y=ai\\z=-ai\end{cases}}[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju