Olimpíadas ⇒ (Argentina - 1997) Números primos Tópico resolvido

[theblackmamba]

Ache todos os números naturais n tais que [tex3]\left\lfloor \frac{n^2}{5} \right\rfloor[/tex3] seja um número primo.

[lucas36]

Primeiro, veja que [tex3]\lfloor\dfrac{nk+a}{k}\rfloor=n[/tex3] quando [tex3]0\le a\le k[/tex3].
Sendo então [tex3]\lfloor\dfrac{n^2}{5}\rfloor=p[/tex3], [tex3]p[/tex3] primo, temos [tex3]n^2=5p, 5p+1, 5p+2, 5p+3, 5p+4[/tex3].
Temos então [tex3]5[/tex3] casos a analisar:

[tex3]n^2=5p[/tex3]

Veja que [tex3]5|n^2[/tex3] e como [tex3]5[/tex3] é primo, segue que [tex3]5|n[/tex3], onde [tex3]n=5k[/tex3].

[tex3]25k^2=5p\Leftrightarrow p=5k^2[/tex3]

Como [tex3]p[/tex3] é primo, a única possibilidade é [tex3]k=1[/tex3] e [tex3]p=5[/tex3], onde [tex3]n=5[/tex3].

[tex3]n^2=5p+1[/tex3]

[tex3](n+1)(n-1)=5p[/tex3]

Se [tex3]p=2[/tex3], não há solucões.
Se [tex3]p>2[/tex3], [tex3]p[/tex3] é ímpar e [tex3]n[/tex3] é par, onde [tex3]n=2k[/tex3] e [tex3](2k+1)(2k-1)=5p[/tex3].
Ja que [tex3]2k+1>2k-1[/tex3] são primos entre si, temos três sub-casos á analisar:
[tex3]2k+1=p, 2k-1=5[/tex3]; temos [tex3]p=7[/tex3] e [tex3]n=6[/tex3]
[tex3]2k+1=5, 2k-1=p[/tex3]; temos [tex3]p=3[/tex3] e [tex3]n=4[/tex3]
[tex3]2k+1=5p, 2k-1=1[/tex3]; não temos solucões

[tex3]n^2=5p+2[/tex3]

[tex3]n^2=5p+3[/tex3]

Os quadrados perfeitos deixam restos [tex3]0, 1, 4[/tex3] na divisão por [tex3]5[/tex3].
Logo os casos [tex3]5p+2, 5p+3[/tex3] não nos dará solucões.

[tex3]n^2=5p+4[/tex3]

[tex3](n-2)(n+2)=5p[/tex3]

Se [tex3]p=2[/tex3] não temos solucões.
Se [tex3]p>2[/tex3], [tex3]p[/tex3] é impar e [tex3]n[/tex3] ímpar, onde [tex3]n=2l+1[/tex3] e [tex3](2l+3)(2l-1)[/tex3].
Já que [tex3]2l+3>2l+1[/tex3] são primos entre si, temos [tex3]3[/tex3] casos á analisar:
[tex3]2l+3=p, 2l-1=5[/tex3]; temos [tex3]p=9[/tex3], absurdo.
[tex3]2l+3=5, 2l-1=p[/tex3]; temos [tex3]p=1[/tex3], absurdo.
[tex3]2l+3=5p, 2l-1=1[/tex3]; temos [tex3]p=1[/tex3], absurdo.

Dessa forma, as únicas solucões são [tex3]n=4, 5, 6[/tex3].