Olimpíadas ⇒ Competição Niels Henrik Abel (1994)

[Cássio]

a) Encontre todos os primos [tex3]p, \ q, \ r[/tex3] e os naturais [tex3]n[/tex3], tais que

[tex3]\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{n}.[/tex3]

b) Encontre todos os inteiros [tex3]x, \ y,\ z[/tex3] tais que [tex3]x^3+5z^3=9z^3.[/tex3]

[lucas36]

a. Simplificando a equacão, temos:

[tex3]\dfrac{pq+pr+qr}{pqr}=\dfrac{1}{n}[/tex3]

[tex3]n(pq+pr+qr)=pqr[/tex3]

Logo [tex3]n|pqr[/tex3].
Se [tex3]n=p, q, r[/tex3], teremos [tex3]pq+pr=0[/tex3], [tex3]pq+qr=0[/tex3] e [tex3]pr+qr=0[/tex3], respectivamente e não nos traz solucões.
Se [tex3]n=pq, pr, qr[/tex3], teremos [tex3]pq+pr+qr=p, q, r[/tex3], mas [tex3]pq+pr+qr>p, q, r[/tex3], absurdo.
Se [tex3]n=pqr[/tex3], teremos [tex3]pq+pr+qr=1[/tex3], absurdo.
Logo só nos resta [tex3]n=1[/tex3], onde [tex3]pq+pr+qr=pqr[/tex3].
Usando [tex3]\pmod p[/tex3], temos [tex3]qr\equiv 0\pmod p[/tex3], onde [tex3]p|qr[/tex3].
De maneira análoga (usando os módulos [tex3]\pmod q[/tex3], [tex3]\pmod r[/tex3]), obtemos [tex3]q|pr[/tex3] e [tex3]r|pq[/tex3] e, com isso, a única possibilidade é [tex3]p=q=r[/tex3], onde [tex3]3p^2=p^3\Leftrightarrow p=3[/tex3].
Assim a única quadrupla solucão é [tex3](n p, q, r)=(1, 3, 3, 3)[/tex3].

b. Creio que o primeiro [tex3]z[/tex3] seja [tex3]y[/tex3]:
Primeiro, duas informacões importantes:
[tex3]x\equiv x^3\pmod 3[/tex3]
[tex3]x^3\equiv 0, 1, 8\pmod 9[/tex3]
Usando módulo [tex3]9[/tex3] na equacão, temos [tex3](*)x^3+5y^3\equiv 0\pmod 9[/tex3].
Mas veja que [tex3]x^3, y^3\equiv 0, 1, 8\pmod 9[/tex3].
Fazendo todas as combinacoes possíveis, vemos que a única que satisfaz a congruência [tex3](*)[/tex3] é quando [tex3]x^3\equiv y^3\equiv 0\pmod 9[/tex3] e logo [tex3]x, y[/tex3] são múltiplos de [tex3]3[/tex3], isto é, [tex3]x=3k[/tex3] e [tex3]y=3l[/tex3].
Suponha que a equacão tenha solucão e seja [tex3](x_0, y_0, z_0)[/tex3] uma solucão com [tex3]x_0[/tex3] o menor possível.
Temos [tex3]x_0=3k_0[/tex3] e [tex3]y_0=3l_0[/tex3], onde:

[tex3](3k_0)^3+5(3l_0)^3=9z^3[/tex3]

[tex3]3k_0^3+15l_0^3=z^3[/tex3]

Logo [tex3]3|z^3[/tex3] e como [tex3]3[/tex3] é primo, segue que [tex3]3|z[/tex3], onde [tex3]z=3z_0[/tex3] e:

[tex3]3k_0^3+15l_0^3=27z_0^3[/tex3]

[tex3]k_0^3+5l_0^3=9z_0^3[/tex3]

Claramente [tex3](k_0, l_0, z_0)[/tex3] é uma solucão da equacão, mas [tex3]k_0=\dfrac{x_0}{3}<x_0[/tex3] e [tex3]x_0[/tex3] era a menor solucão do sistema.
Chegamos num absurdo e logo o que supomos inicialmente é falso.
Dessa forma, a equacão não pode ter solucões.