Ensino Médio ⇒ Seqüência de Fibonacci

[dettymp]

A árvore de Emília cresce de acordo com a seguinte regra: após 2 semanas do aparecimento de um galho, esse mesmo galho produz um novo galho a cada semana, e o galho original continua a crescer. A árvore tem 5 galhos depois de 5 semanas, como mostra a figura abaixo. Quantos galhos, incluindo o galho principal a árvore terá no final de 8 semanas?

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[italoemanuell]

OLá dettymp!!

Denotandos por [tex3]f_n[/tex3] o número de galhos da árvore de pois de n semanas.Como depois de duas semanas aparece um galho então [tex3]f_2=1[/tex3],na segunda semana este galho produz um novo galho,logo [tex3]f_3=2[/tex3].Pela regra,o número de galhos na n+1-ésima semana é igual ao número de galhos que existentem na n -ésima semana,mais os novos galhos. Mas,os galhos novos nascem dos galhos que têm pelo menos duas semanas,isto é,nasce um galho novo por cada galho que existia na semana n-1.

Assim,temos que [tex3]f_{n+1}=f_n+f_{n-1}[/tex3]. Logo:

[tex3]f_4=2+1=3,[/tex3]
[tex3]f_5=3+2=5,[/tex3]
[tex3]f_6=5+3=8,[/tex3]
[tex3]f_7=8+5=13,[/tex3]
[tex3]f_8=13+8=21.[/tex3]

Espero ter ajudado!!



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"A Matemática possui uma força maravilhosa capaz de nos fazer compreender muitos mistérios de nossa fé. (SÃO JERÔNIMO)"