Ensino Médio ⇒ Triângulo Equilátero, Quadrado e Hexágono Tópico resolvido

[andreluiz]

Suponha que [tex3]A_3, A_4 e A_6[/tex3] representam, respectivamente, as áreas de um triângulo equilátero, um quadrado e um
hexágono regular, todos de mesmo lado. Se [tex3]A_3 + A_4 + A_6[/tex3]= [tex3]A_3.A_6[/tex3], então, calcule (usando [tex3]\sqrt{3}[/tex3] nos cálculos) o valor da área de cada um deles.

[theblackmamba]

[tex3]A_3 = \frac{l^2\sqrt3}{4}[/tex3]
[tex3]A_4 = l^2[/tex3]
[tex3]A_6 = 6 \cdot A_3[/tex3] (a área do hexágono equivale a soma dos 6 triângulos equiláteros internos).

[tex3]A_3 + A_4 + A_6 = A_3 \cdot A_6[/tex3]
[tex3]A_3 + A_4 + 6 \cdot A_3 = 6 \cdot (A_3)^2[/tex3]
[tex3]A_4 = 6\cdot (A_3)^2 - 7 \cdot A_3[/tex3]
[tex3]A_4 = A_3(6 \cdot A_3 - 7)[/tex3]
[tex3]\cancel{l^2} = \frac{\cancel{l^2}\sqrt3}{4} \(6 \cdot \frac{l^2\sqrt3}{4} - 7\)[/tex3]
[tex3]1 = \frac{6l^2 \cdot 3}{4\cdot 4} - \frac{7\sqrt3}{4}[/tex3]
[tex3]18l^2 = 16 + 4 \cdot 7 \sqrt3[/tex3]
[tex3]l^2 = \frac{2(4 + 7\sqrt3)}{9}[/tex3]

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[tex3]A_4 = \frac{2(4 + 7\sqrt3)}{9} \,\,\text{u.a}[/tex3]
[tex3]A_3=\frac{\sqrt3}{4} \cdot \frac{2(4 + 7\sqrt3)}{9} = \frac{4\sqrt3 + 7\cdot3}{18} = \frac{21 + 4\sqrt3}{18} \,\,\text{u.a}[/tex3]
[tex3]A_6 = 6 \cdot \( \frac{21 + 4\sqrt3}{18}\) = \frac{21 +4\sqrt3}{3}\,\,\text{u.a}[/tex3]