(Bélgica - 2000) Somatório - Estude! Com Prof. Caju

Olimpíadas ⇒ (Bélgica - 2000) Somatório Tópico resolvido

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theblackmamba Offline: Mensagens: 3723; Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43; Localização: São Paulo - SP; Agradeceu: 806 vezes; Agradeceram: 2294 vezes

Fev 2012 19 17:57

(Bélgica - 2000) Somatório

Mensagempor theblackmamba » 19 Fev 2012, 17:57

Mensagem por theblackmamba » 19 Fev 2012, 17:57

Prove que:

[tex3]\log(\tg1^{\circ}) + \log(\tg2^{\circ}) + ... + \log(\tg89^{\circ}) + \log(\tg90^{\circ}) = 0[/tex3]

Editado pela última vez por caju em 13 Mai 2018, 20:20, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3

"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

theblackmamba

FilipeCaceres Offline: Mensagens: 2504; Registrado em: 16 Nov 2009, 20:47; Agradeceu: 79 vezes; Agradeceram: 974 vezes

Fev 2012 22 18:26

Re: (Bélgica - 2000) Somatório

Mensagempor FilipeCaceres » 22 Fev 2012, 18:26

Mensagem por FilipeCaceres » 22 Fev 2012, 18:26

Olá theblackmamba,

Vou pedir que você reveja o teu enunciado, pois ele está errado.

Vou resolver considerando o seguinte:

Prove que:
[tex3]log(tg1^{\circ}) + log(tg2^{\circ}) + ... + log(tg89^{\circ})= 0[/tex3]

Reescrevendo,
[tex3]P=log(tan1^{\circ}.tan2^{\circ}.tan3^{\circ}...tan89^{\circ})[/tex3]

Sabemos que:
[tex3]tan 1^{\circ}=cot 89^{\circ}=\frac{1}{tan89^{\circ}}[/tex3], para [tex3]x \in ]0,\frac{\pi}{2}[[/tex3].

Assim temos,
[tex3]P=log\(\frac{1}{tan89^{\circ}}.\frac{1}{tan88^{\circ}}.\frac{1}{tan87^{\circ}}\,...\, tan87^{\circ}.tan88^{\circ}.tan89^{\circ}\)[/tex3]
[tex3]P=log(1)[/tex3]
[tex3]\boxed{P=0}[/tex3]. C.Q.D

Abraço.

Editado pela última vez por FilipeCaceres em 22 Fev 2012, 18:26, em um total de 1 vez.

FilipeCaceres

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Primeira Postagem

gabrielifce

Um número inteiro não-negativo é dito Palindromo se ele é lido da esquerda para a direita é igual quando lido da direita para a esquerda. Por exemplo, 121,2002 0 e 4 são palindromos. O número de palindromos que são menores que 1000000.

Últ. msg

csmarcelo

Números com 6 dígitos: [tex3]\underline{9}\times\underline{10}\times\underline{10}\,\,\,\,\,\, \underline{\ }\,\,\,\,\,\, \underline{\ }\,\,\,\,\,\, \underline{\ }[/tex3]
[tex3]+[/tex3]
Números com 5 dígitos:...
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Primeira Postagem

gabrielifce

O alfabeto alemão consiste de 6 vogais e 20 consoantes. Assuma que uma palavra de 3 caracteres possui ao menos 1 vogal e ao menos uma consoante.Determine o maior número de palavras de 3 caracteres que é possível escrever

Últ. msg

csmarcelo

Com duas vogais: [tex3]3\times(6\times6\times20)=2160[/tex3], onde [tex3]3\times[/tex3] corresponde às três possíveis posições da consoante
[tex3]+[/tex3]
Com duas consoantes: [tex3]3\times(20\times20\times6)=7200[/tex3], onde [tex3]3\times[/tex3] corresponde às três possíveis posições da vogal
[tex3]=9360[/tex3]
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Primeira Postagem

marguiene

Considere o arco adb = 130º e o arco aec = 150º em um círculo. O ponto p é um dos pontos de interseção da mediatriz de [bc] e o círculo. O ângulo agudo formado pela mediatriz epa mede:
a) 5º
b) 10º
c) 15º
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Ittalo25

Não entendi muito bem o que a questão pediu: O ângulo agudo formado pela mediatriz epa .

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Primeira Postagem

Gu178

Considere [tex3]t=\frac{\sen x }{1+\cos x }[/tex3] , prove que [tex3]\cos x =\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex3]

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LucasPinafi

[tex3]t^2 = \frac{\sin^2 x}{(1+\cos x)^2} \therefore t^2 (1+ 2\cos x + \cos^2 x) = 1 - \cos^2 x \\ (1+t^2) \cos^2 x +2t^2 \cos x+(t^2-1) =0 \\ \cos x = \frac{-2t^2 \pm \sqrt{4t^2-4(t^2+1)(t^2-1)}}{2(1+t^2)}= \frac{-2t^2 \pm \sqrt{4t^2-4(t^4-1)}}{2(1+t^2)} \\ \cos x= \frac{-2t^2 \pm 2}{2(1+t^2)}[/tex3]...
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Primeira Postagem

Gu178

Um triângulo abc com |ac|=B, |ab|=C e |bc|=A satisfaz [tex3]\frac{1}{A+B}+\frac{1}{B+C}=\frac{3}{A+B+C}[/tex3]. O ângulo b mede:

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Ittalo25

[tex3]\frac{1}{A+B}+\frac{1}{B+C}=\frac{3}{A+B+C}[/tex3]
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