Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica: Soma dos n Primeiros Termos Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Um Indivíduo resolve fazer uma corrente de cartas. Para isso escreve uma carta assina e envia cópias a [tex3]4[/tex3] amigos. Cada um desses amigos deve enviar uma cópia a [tex3]4[/tex3] amigos, pondo sua assinatura embaixo da assinatura do primeiro indivíduo. Cada um desses novos leitores deve enviar uma cópia a 4 amigos, acrescentando a sua assinatura as anteriores e assim sucessivamente quando as últimas cartas recebidas tiverem [tex3]15[/tex3] assinaturas. Quantas pessoas ja terão recebido sua carta (suponha que não haja repetições e que ninguém quebre a corrente).

[cajuADMIN]

Olá paulo testoni,

Bom, para esta questão, vamos pensar em níveis.

No primeiro nível há somente a assinatura do indivíduo que criou a corrente.

No segundo nível, quatro pessoas recebem as cartas e colocam sua assinatura somente na carta recebida, ou seja, cada carta passará a ter [tex3]2[/tex3] assinaturas. [tex3]1 + 4[/tex3] pessoas que assinaram. Cada pessoa envia para [tex3]4[/tex3] pessoas, ou seja, no próximo nível entrarão mais [tex3]16[/tex3] pessoas.

No terceiro nível, [tex3]16[/tex3] pessoas recebem as cartas e adicionam, cada uma na sua carta, sua assinatura. Cada carta passará a ter [tex3]3[/tex3] assinaturas. [tex3]1 + 4 + 16[/tex3] que assinaram.

E assim sucessivamente.

Essa seqüência chega a ter quinze assinaturas em cada carta quando chegar no décimo quinto nível. Assim, seguindo a seqüência definida nos três primeiros níveis, teremos:

• [tex3]1+4+4^2+4^3+\ldots+4^{14}[/tex3]

Note que isto é a soma dos [tex3]15[/tex3] primeiros elementos de uma P.G. com primeiro elemento valendo [tex3]1[/tex3] e razão valendo [tex3]4:[/tex3]

• [tex3]S_{15}=\frac{1\cdot(4^{15}-1)}{4-1}[/tex3]
  
  [tex3]S_{15}=357.913.941[/tex3]

É um monte de gente!