Ensino Médio ⇒ Polinômios - Raízes

[andersontricordiano]

Dos números complexos seguintes , quais são raízes do polinômio p dado por [tex3]p(x)={x}^{3}-7{x}^{2}+17x-15[/tex3]
[tex3]2+i[/tex3] , [tex3]i[/tex3] , [tex3]1[/tex3] , [tex3]0[/tex3] e [tex3]3[/tex3].

Resposta

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Resposta: 2+i e [tex3]3[/tex3]

[Swiichi]

Olá anderson!
Bem, para resolvermos esse problema, precisamos ter conhecimento do "teorema do chute", um teorema prático para encontrar uma raíz de um polinômio de grau maior que 2. É simples:
Pegue todos os divisores do termo que não vem acompanhado de variável e divida pelo termo que acompanha a variável de maior expoente. No caso, a variável de maior expoente é [tex3]x^3[/tex3] e o termo que a acompanha é [tex3]1[/tex3], não havendo necessidade de divisão.
Os divisores de [tex3]-15[/tex3] são: [tex3]1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, -15[/tex3]
Logo, uma das raízes do polinômio será um desses números. Agora vem a parte mais chata: testa-se uma por uma no polinômio pra ver se ele é zerado.

[tex3]\rightarrow 1[/tex3]
[tex3]x^3 -7x^2 +17x -15 = 0 \\ 1^3 - 7.1^2 + 17.1 -15 = 0 \\ 1 -7 +17 -15 = 0\\ 16-22 = 0\\ -6\neq 0[/tex3]
[tex3]\rightarrow -1[/tex3]
[tex3]x^3 -7x^2 +17x -15 = 0 \\ (-1)^3 -7.(-1)^2 +17.(-1) -15 = 0 \\ -1 +7 -17 -15 \neq 0[/tex3]
[tex3]\rightarrow 3[/tex3]
[tex3]x^3 -7x^2 +17x -15 = 0 \\ 3^3 -7.3^2 +17.3 -15 = 0\\ 27 -63 +51 -15 = 0\\ 0 = 0[/tex3]

Encontramos a primeira raíz do polinômio, [tex3]x_1 = 3[/tex3]. Então, usamos Briot-Ruffini para derrubarmos o grau do polinômio:

[tex3]\begin{array}{c| c c c |c} & 1 & -7 & 17 & -15 \\ \hline 3 & 1 & -4 & 5 & 0 \\\end{array}[/tex3]

Podemos reescrever [tex3]P(x)[/tex3] como:
[tex3]P(x) = (x-3)(x^2 -4x +5)[/tex3]
Encontrando as outras raízes:
[tex3]x^2 -4x +5 = 0\\ \Delta = 16 -20 = -4\\ x = \frac{4 \pm\sqrt{-4}}{2}\\ x = \frac{4 \pm 2i}{2}\\ \boxed{x_2 = 2-i}\\ \boxed{x_3 = 2+i}[/tex3]