Olimpíadas ⇒ (Irlanda - 1999) Perímetro Mínimo Tópico resolvido

[theblackmamba]

Sendo ABC um triângulo cuja medida dos seus lados são expressas por número inteiros. Tendo a relação entre os ângulos: [tex3]\hat{A}=2 \cdot \hat{B}[/tex3] e [tex3]\hat{C}>90^{\circ}[/tex3]. Calcule o perímetro mínimo deste triângulo.

[theblackmamba]

Solução:

......png (11.91 KiB) Exibido 933 vezes

Fazendo [tex3]\hat{B}=\alpha,\, \hat{A}=2\alpha[/tex3], sejam a, b e c as medidas dos lados opostos aos ângulos [tex3]\hat{A}, \,\hat{B},\,\hat{C}[/tex3], respectivamente.

Prolongue o segmento AC até D, tal que [tex3]AD = c[/tex3].

Note que os triângulos ABC e BCD são congruentes. Assim temos:
[tex3]\frac{b}{a}=\frac{a}{b+c} \Right a^2 = b(b+c)[/tex3].

Relação dos ângulos:
[tex3]\alpha + 2\alpha < 90^{\circ}[/tex3]
[tex3]0<\alpha< 30^{\circ}[/tex3]

Dai implica em:
[tex3]\frac{\sqrt3}{2}<\cos \alpha<1[/tex3]

Teorema dos senos no triângulo ABC:
[tex3]\frac{a}{\sen (2\theta)} = \frac{b}{\sen \theta}[/tex3]
[tex3]\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot \sen \theta \cdot \cos \theta}{\sen \theta} = 2 \cos \theta[/tex3]

Das duas últimas equações tiramos:

[tex3]\frac{\sqrt3}{2}<\frac{a}{2b} < 1[/tex3]
[tex3]\sqrt3 < \frac{a}{b} < 2[/tex3]
[tex3]1,73<\frac{a}{b}<2[/tex3]

Vemos que a inequação apenas é válida para [tex3]a\geq 7[/tex3] e [tex3]b\geq 4[/tex3] e seus múltiplos (proporção ---> 7/4 = 14/8 = 28/16 = 1,75)

Temos que testar valores para qual:
[tex3]a^2 = b(b+c)[/tex3]

Para ser um triângulo deve-se respeitar:
[tex3]|b-c| \leq a < b+c[/tex3]
[tex3]|a-c| \leq b < a+c[/tex3]
[tex3]|a-b| \leq c< a+b[/tex3]

Para [tex3]c>a>b[/tex3]

Encontraremos para a = 28 e b = 16:

[tex3]784 = 16(16 + c)[/tex3]
[tex3]49= 16 + c \rightarrow c = 33[/tex3]

Logo,
[tex3]\boxed{2p = a+b+c=77}[/tex3].