IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1999) Geometria Plana: Polígonos Regulares Tópico resolvido

[Flavio2008]

Em uma circunferência de raio [tex3]R[/tex3] está inscrito um pentadecágono regular [tex3]P.[/tex3] Coloque (V) verdadeiro ou (F) falso nas afirmativas abaixo:

• [tex3]\text{( ) } P[/tex3] tem diagonal que mede [tex3]2R.[/tex3]
  [tex3]\text{( ) } P[/tex3] tem diagonal que mede [tex3]R\sqrt {2}.[/tex3]
  [tex3]\text{( ) } P[/tex3] tem diagonal que mede [tex3]R\sqrt {3}.[/tex3]
  [tex3]\text{( ) } P[/tex3] tem diagonal que mede [tex3]\frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}.[/tex3]

Assinale a alternativa correta:

a) (V),(V),(F),(F).
b) (F),(V),(V),(F).
c) (F),(F),(V),(V).
d) (V),(V),(V),(F).
e) (V),(V),(V),(V).

[Alexandre_SC]

Qualquer diagonal [tex3]d[/tex3] de um pentadecágono regular inscrito numa circunferência de raio [tex3]R[/tex3] é dada por:

• [tex3]d= 2R\cdot \sen \frac{n\pi}{15},[/tex3]

onde [tex3]n[/tex3] é o número de arcos determinados pela diagonal, com [tex3]2\leq n\leq 13.[/tex3]

I. [tex3]d=2R.[/tex3] Falso.

• [tex3]2R\cdot \sen \frac{n\pi}{15}=2R\Longrightarrow \sen \frac{n\pi}{15}=1\Longrightarrow \frac{n\pi}{15}=\frac{\pi}{2} \Longrightarrow n=\frac{15}{2} \neq \mathbb{N}[/tex3]

II. [tex3]d=R\sqrt{2}.[/tex3] Falso.

• [tex3]2R\cdot \sen \frac{n\pi}{15}=R\sqrt{2} \Longrightarrow \sen \frac{n\pi}{15}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow \frac{n\pi}{15}=\frac{\pi}{4} \Longrightarrow n=\frac{15}{4} \neq \mathbb{N}[/tex3]

III. [tex3]d=R\sqrt{3}.[/tex3] Verdadeiro.

• [tex3]2R\cdot \sen \frac{n\pi}{15}=R\sqrt{3} \Longrightarrow \sen \frac{n\pi}{15}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow \frac{n\pi}{15}=\frac{\pi}{3} \Longrightarrow n=5.[/tex3]

IV. [tex3]d=\frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}.[/tex3] Verdadeiro.

• [tex3]2R\cdot \sen \frac{n\pi}{15}=\frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}} \Longrightarrow \sen \frac{n\pi}{15}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\Longrightarrow \frac{n\pi}{15}=\frac{\pi}{5} \Longrightarrow n=3.[/tex3]

[tex3]\boxed{\text{C}}[/tex3]

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[tex3]d= 2R\cdot \sin \frac{n\pi}{15},[/tex3]

De onde surge essa fórmula?
Alguém sabe generalizar?