Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Fatoriais Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

O expoente da maior potência de [tex3]13[/tex3] que é divisor de [tex3]200![/tex3] é:

a) 15
b) 16
c) 2
d) 13
e) 10

[Thales Gheós]

Penso que seja assim:

[tex3]200! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots\cdot 199\cdot 200[/tex3]

nesse produto 13 aparecerá nos seus múltiplos:

[tex3]1\cdot 13\cdot 2\cdot 13\cdot 3\cdot 13 \ldots = 13^n\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot n[/tex3]

o menor é obviamente [tex3]13[/tex3] e o maior é [tex3]15\cdot 13=195,[/tex3] então [tex3]n=15[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Thales,

O início da solução você acertou, mas no final você fugiu do enunciado.

O exercício pede a maior potência e não o maior múltiplo de [tex3]13[/tex3] que podemos dividir o [tex3]200![/tex3].

Para achar esta resposta, devemos descobrir quantos fatores de [tex3]200![/tex3] possuem o fator [tex3]13[/tex3] em sua decomposição.

Veja que teremos 15 múltiplos de 13 no fatorial 200!. São eles:

[tex3]13,\,26,\,39,\,52,\,...,\,156,\,169,\,182,\,195[/tex3]

Mas não quer dizer que a resposta é [tex3]15[/tex3], pois temos o [tex3]169[/tex3], que é [tex3]13^2[/tex3]. Ou seja, fatorando a seqüência acima:

[tex3]13,\,2\cdot 13,\,3\cdot 13,\,4\cdot 13,\,5\cdot 13,\,...\,,\,12\cdot 13,\,13\cdot 13,\,14\cdot 13,\,15\cdot 13[/tex3]

Cada múltiplo de [tex3]13[/tex3] irá contribuir com um fator [tex3]13[/tex3], mas o [tex3]169[/tex3] irá contribuir com dois. Portanto, podemos ter [tex3]16[/tex3] fatores [tex3]13[/tex3] dividindo o [tex3]200![/tex3]. Ou seja,

[tex3]\frac{200!}{13^{16}}[/tex3] ainda é um número inteiro.

O maior expoente de [tex3]13^n[/tex3] é [tex3]16[/tex3].

Atenciosamente
Prof. Caju
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