IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1952) Álgebra Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Estude a continuidade e as descontinuidades da função [tex3]y=\frac{2|x|}{x}[/tex3].

Resposta

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É contínua em todo campo real menos no ponto [tex3]x=0[/tex3], onde [tex3]x=0[/tex3] é ponto de descontinuidade, pois os limites laterais da função são diferentes.

[FilipeCaceres]

Olá Aldrin,


O domínio da função é [tex3]\mathbb{R}-\{0\}[/tex3], para que a função seja contínua deve existir [tex3]\lim_{x\to 0}\frac{2|x|}{x}[/tex3].

Para que o limite exista os limites bilaterais devem ser iguais.

Pela direita temos,
[tex3]\lim_{x\to 0^+}\frac{2|x|}{x}[/tex3]

Para [tex3]x\to 0^+[/tex3] temos [tex3]|x|=x[/tex3], logo
[tex3]\lim_{x\to 0^+}\frac{2x}{x}=\lim_{x\to 0^+}2=2[/tex3]

Pela esquerda temos,
[tex3]\lim_{x\to 0^-}\frac{2|x|}{x}[/tex3]

Para [tex3]x\to 0^-[/tex3] temos [tex3]|x|=-x[/tex3], logo
[tex3]\lim_{x\to 0^-}\frac{-2x}{x}=\lim_{x\to 0^-}-2=-2[/tex3]

Como os limites bilaterias são diferentes, a função não é contínua em [tex3]x=0[/tex3].

Abraço.

[ALDRINMOD]

Valeu Filipe!!!