Ensino Médio ⇒ Trigonometria- Simplificação Tópico resolvido

[ClintEastwood]

Galera, estou embasando em trigonometria e estou com uma dúvida numa resolução do livro do Iezzi.

102. Obtenha [tex3]\tg x[/tex3], sabendo que [tex3]\sen^2 x - 5\cdot \sen x\cdot \cos x + \cos^2 x = 3[/tex3]

Na resolução do livro do Professor, depois que ele reduz essa expressão, fica assim:
[tex3]-5\sen x\cdot \cos x = 2[/tex3] (até aqui tudo bem, porém vem a dúvida)

[tex3]\left(\frac{-5\sen x\cdot \cos x}{\cos^{^2}x}\right)=\left(\frac{2}{\cos{^2}x}\right)\rightarrow -5\cdot \tg x = 2(1 + \tg^2 x)[/tex3]

Essa parte é a minha dúvida. Como a primeira expressão se tornou [tex3]-5\cdot \tg x[/tex3]? A segunda eu entendi que ele usou uma das propriedades, porém essa da [tex3]-5\cdot \tg x[/tex3] eu não entendi

Penso que ele fez a divisão de [tex3]\frac{\sen x}{\cos^{2}x}[/tex3] transformando em tangente, mas o [tex3]\cos^2 x[/tex3] implicaria em outra coisa, não?

[emanuel9393MOD]

Olá, Clintestwood


Na verdade, ele fez o seguinte:


[tex3]\frac{-5 \cdot \sin x \cdot \cos x}{ \cos^{2} x} \, = \, -5 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}[/tex3]


Como [tex3]\frac{\sin x}{\cos x} \, = \, tg \, x[/tex3], vem:

[tex3]-5 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \, = \, -5 \cdot tg \, x[/tex3]


Um abraço!

[ClintEastwood]

Olá Emanuel! Obrigado pela ajuda. Porém minha dúvida é exatamente nessa parte.

[tex3]\frac{-5senx.cosx}{cos^{2}x}=\frac{-5senx}{cosx}[/tex3]

Como você transformou isso? Eu sei que tg x = [tex3]\frac{senx}{cosx}[/tex3], porém alí o cos x está ao quadrado. Desculpe a ignorância, mas realmente não entendi. Poderia me explicar como você fez a transformação?

[emanuel9393MOD]

É o seguinte:


[tex3]\frac{\cos x}{\cos^{2} x} \, = \, \frac{1}{\cos x}[/tex3]

Eu não sei fazer isso em Latex, mas você corta cosseno x do numerador com o exponte 2 do cosseno do denomindaor.




Um abraço!

[ClintEastwood]

Entendi! Nossa, finalmente. Eu estava meio que "tentando" dividir ambos de uma vez só. Entendi cara, sanou minha dúvida! Abraçoss!

[cajuADMIN]

Olá a todos,

[tex3]\frac{-5\sen \cdot \cos(x)}{cos^{2}x}=\frac{-5\sen (x)\cdot \cos(x)}{\cos(x)\cdot\cos(x)}[/tex3]

Agora podemos cortar um [tex3]\cos(x)[/tex3] do numerador com um do denominador:

[tex3]\frac{-5\sen (x)\cdot \cancel{\cos(x)}}{\cos(x)\cdot\cancel{\cos(x)}}=\frac{-5\sen (x)}{\cos(x)}=-5\cdot\frac{\sen (x)}{\cos(x)}[/tex3]

Agora, sabendo que [tex3]\frac{\sen (x)}{\cos(x)}[/tex3] é igual a [tex3]\tan(x)[/tex3], temos a igualdade final:

[tex3]\boxed{\frac{-5\sen \cdot \cos(x)}{cos^{2}x}=-5\tan(x)}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju