Ensino Médio ⇒ Radiação Tópico resolvido

[thebestgui]

Racionalize a expressão:

[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{x}- \sqrt[3]{y}}[/tex3]


obs: Resposta depois eu posto, esqueci a apostila no curso.

[olgario]

Olá Thebestgui !

Em 1º lugar, me permita uma correção de português, no que diz respeito ao título desta questão. Não se diz " Radiação" tal como você postou, pois isso se refere à radioatividade dos núcleos atómicos. Mas sim, "Radiciação" __ ato ou operação de extrair raízes a um número.

Em relação ao problema:
Multiplicando ambos os termos da fração pelo seu conjugado, temos:

[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{x}\,-\,\sqrt[3]{y}}\,=\,\frac{1\(\sqrt[3]{x}\,+\,\sqrt[3]{y}\)}{\(\sqrt[3]{x}\,-\,\sqrt[3]{y}\)\cdot \(\sqrt[3]{x}\,+\,\sqrt[3]{y}\)}[/tex3]

[tex3]\text{ }=\,\frac{\sqrt[3]{x}\,+\,\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x^2}\,+\,\sqrt[3]{xy}\,-\,\sqrt[3]{xy}\,-\,\sqrt[3]{y^2}}[/tex3]

[tex3]\text{ }=\,\frac{\sqrt[3]{x}\,+\,{\sqrt[3]{y}}}{\sqrt[3]{x^2}\,+\,\cancel{\sqrt[3]{xy}}\,-\,\cancel{\sqrt[3]{xy}}\,-\,\sqrt[3]{y^2}}[/tex3]

[tex3]\text{ }=\,\frac{\sqrt[3]{x}\,+\,\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x^2}\,-\,\sqrt[3]{y^2}}[/tex3]


O conjugado de: [tex3]\text{ }\({\sqrt[3]{x}\,-\,\sqrt[3]{y}}\)\text{ }[/tex3] é : [tex3]\text{ }\boxed{\({\sqrt[3]{x}\,+\,\sqrt[3]{y}}\)}[/tex3]


Por exemplo, para racionalizarmos a fração: [tex3]\text{ }\frac{5}{\sqrt7-\sqrt3}[/tex3]


Procede-se do seguinte modo:[tex3]\text{ }\frac{5}{\sqrt7-\sqrt3}\,=\, \frac{5\(\sqrt7+\sqrt3\)}{\(\sqrt7-\sqrt3\)\(\sqrt7+\sqrt3\)}\;=\;\frac{5\(\sqrt7+\sqrt3\)}{4}[/tex3]


O conjugado de: [tex3]\text{ }\(\sqrt7-\sqrt3\)\text{ }[/tex3] é: [tex3]\text{ }\boxed{\(\sqrt7+\sqrt3\)}[/tex3]

Espero ter ajudado.

Um abraço.