Ensino Médio ⇒ Progressão Aritimética Tópico resolvido

[Kleber30]

A soma dos 4 primeiros termos de uma P.A é 4, e o produto desses termos é zero.
Sendo a razão da P.A. um numero inteiro e positivo, o segundo termo dessa sequência é:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Resposta

---

a) 0

[theblackmamba]

[tex3]S_n = (a_1 + a_n) \cdot \frac{n}{2}[/tex3]
[tex3]S_4 = (a_1 + a_4) \cdot \frac{4}{2}[/tex3]
[tex3]8 = a_1 + a_4[/tex3]

Mas, [tex3]a_4 = a_1 + 3r[/tex3]. Logo,

[tex3]a_1 + a_1 + 3r = 8[/tex3]
[tex3]2a_1 + 3r = 8\,\,\,\,\,\,\,(1)[/tex3]

[tex3]a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = 0[/tex3]
[tex3]a_1 \cdot (a_1 + r)(a_1 + 2r)(a_1 + 3r) = 0[/tex3]

Para um produto resultar em zero, um dos fatores deve ser 0.
Vamos testar:
[tex3]a_1 = 0 \rightarrow r=\frac{8}{3}[/tex3] (não serve pois a razão é um número inteiro).

[tex3]a_1 = -r \rightarrow -2r + 3r = 8 \rightarrow r = 8[/tex3]

[tex3]a_1 = -2r \rightarrow -4r + 3r = 8 \rightarrow r = -8[/tex3]

A partir daí a razão começa a ficar negativa, mas segundo o enunciado não é válido.

Portanto ficamos com [tex3]r=8[/tex3].

Substituindo em (1):
[tex3]2a_1 + 3\cdot 8 = 8[/tex3]
[tex3]2a_1 = -16 \,\therefore\,a_1 = -8[/tex3]

Logo,
[tex3]a_2 = a_1 + r[/tex3]
[tex3]a_2 = -8 + 8[/tex3]
[tex3]\boxed{a_2=0}[/tex3]

Abraço.

[Kleber30]

Muito obrigado, consegui entender com clareza.
Só tem um errinho bobo... Mas a lógica ainda é a mesma.

Nessa parte:

[tex3]S_n = (a_1 + a_n) \cdot \frac{n}{2}[/tex3]
[tex3]S_4 = (a_1 + a_4) \cdot \frac{4}{2}[/tex3]
[tex3]8 = a_1 + a_4[/tex3]

Seria: [tex3]2 = a_1 + a_4[/tex3]

Valeu!

[emanuel9393MOD]

Olá, kleber30!


Concordo com você. Theblackmamba errou. Mas, observe que, felizmente, isso não altera o resultado:


Teríamos o seguinte:


[tex3]a_{1} \, = \, -r \,\,\,\,\, \rightarrow \,\,\,\,\, -2r \, + \, 3r \, = \, 2 \\ r \, = \, 2 \,\,\,\,\,\,\, e \,\,\,\,\,\,\, a_{1} \, = \, -2[/tex3]



Logo:


[tex3]a_{2} \, = \, a_{1} \, + \, r \\ a_{2}\, = \, 2 \, - \, 2 \, = \, 0[/tex3]



De qualquer forma, [tex3]a_{1}[/tex3] cancela [tex3]r[/tex3].


Um abraço!