Ensino Médio ⇒ Questão dos ponteiros de um relógio Tópico resolvido

[chitao75]

Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2 horas e 40 minutos ?

a) 160º
b)165º
c) 170º
d) 175º
e) 180º

Pessoal, a resposta que foi dada foi a assertiva C que corresponde a 170º, porém eu só consegui encontrar 160º. Alguém pode me ajudar ?????

[pozelli]

Se dividirmos em 12 horas, seria 12 angulos de 30º.

Ponteiro no 2: 60º
Só que ele estará entre o dois e o três, em 2/3 disso.
2*30/3 = 20º
20º + 60º = 80º

Ponteiro no 8: 240º

Substraindo os dois, teremos o angulo de 160º.

Não entendo por que está errado.

[theblackmamba]

Para sabermos o ângulo que se forma pelos ponteiros basta aplicar a fórmula:

[tex3]\theta=|30 \cdot h - 5,5 \cdot min|[/tex3]. Para [tex3]\theta > 180^{\circ}[/tex3], então [tex3]\theta_1 = 360^{\circ} - \theta[/tex3]. Sendo [tex3]h[/tex3] o número de horas e [tex3]min[/tex3] o número de minutos.

No caso,
[tex3]\theta = |30 \cdot 2 - 5,5 \cdot 40|[/tex3]
[tex3]\theta=|60-220|[/tex3]
[tex3]\boxed{\theta=160^{\circ}}[/tex3]

Está correto.

[APSmed]

theblackmamba,
Essa fórmula possui alguma restrição ?
Caso seja 0 horas, por exemplo, uso 0 ou 12 e para o horários da tarde, 14, 15 , 16 ? Coloca 2 ou 14 ?

[cajuADMIN]

Olá a todos.

Uma solução alternativa, sem utilizar a fórmula, apenas o raciocínio, seria utilizando a velocidade de rotação de cada ponteiro.

Às 00:00 ambos os ponteiros estavam posicionados na vertical pra cima. Portanto, devemos começar desse ponto.

Assim, cada ponteiro andou um total de 2 horas e 40 minutos até o ponto onde devemos calcular o ângulo entre eles.

PONTEIRO GRANDE (minutos)

Esse ponteiro faz uma volta completa (360º) em 60 minutos. Portanto, a velocidade de rotação dele é:

[tex3]V_{\text{grande}}=\frac{360}{60}\Rightarrow\boxed{V_{\text{grande}}=6^\circ /\text{min}}[/tex3]

Sabendo a velocidade, podemos concluir quantos graus esse ponteiro andou desde 00:00 até 02:40.
A cada hora completa o ponteiro dos minutos passa na vertical superior. Portanto, só precisamos calcular quantos graus ele se deslocou nos últimos 40 minutos.

Como o ponteiro anda 6º a cada minuto, seu deslocamento total será [tex3]40\cdot6=\boxed{240^\circ}[/tex3]

PONTEIRO PEQUENO (horas)

Esse ponteiro demora 12 horas (12·60 = 720 min.) pra fazer uma volta completa. assim, a velocidade de rotação dele é:

[tex3]V_{\text{pequeno}}=\frac{360}{720}\Rightarrow\boxed{V_{\text{pequeno}}=0,5^\circ /\text{min}}[/tex3]

Sabendo a velocidade, podemos concluir quantos graus esse ponteiro andou desde 00:00 até 02:40. Entre esses tempos, terão se passado um total de [tex3]2\cdot 60+40=160[/tex3] minutos.

Como o ponteiro anda 0,5º a cada minuto, seu deslocamento total será [tex3]160\cdot 0,5=\boxed{80^\circ}[/tex3].

Agora que sabemos quanto cada ponteiro andou, podemos fazer um desenho:

Agora fica fácil ver que o menor ângulo entre os ponteiros será de:

[tex3]240^\circ - 80^\circ=\boxed{\boxed{160^\circ}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju