Física I ⇒ (Olimpíada Brasileira de Física) Dinâmica Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

A figura representa dois baldes de massas [tex3]M_{1}[/tex3] e [tex3]M_{2}[/tex3]. Contendo cada um uma quantidade de massa [tex3]M[/tex3].

Considere a polia e os fios ideais. Supondo que a massa [tex3]M_{2}[/tex3] seja ligeiramente maior que a massa [tex3]M_{1}[/tex3], responda:

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a) Qual a quantidade [tex3]m[/tex3] de areia que deve ser transferida do balde de massa [tex3]M_{1}[/tex3] para o balde de massa [tex3]M_{2}[/tex3], para que a aceleração do sistema aumente de um fator f?
b) Qual o maior valor de f possível?

[theblackmamba]

Olá emanuel,

Tome T como a tração no fio.

Podemos montar as equações das forças que atuam nos baldes:

[tex3]M_2 a= M_2 g - T[/tex3] ( [tex3]M_2[/tex3] tende a descer, pois [tex3]M_2>M_1[/tex3])
[tex3]M_1 a = T - M_1 g[/tex3]

Somando as equações:
[tex3]a(M_2 + M_1) = g(M_2 - M_1)[/tex3]
[tex3]a = \frac{g(M_2 - M_1)}{(M_2 + M_1)}\,\,\,\,\,(1)[/tex3]

Para um devido a aceleração do sistema por um fator (f) multiplicativo e considerando [tex3]x[/tex3] a massa a massa transferida do balde de massa [tex3]M_1[/tex3] para [tex3]M_2[/tex3] temos:

[tex3]a \cdot f = \frac{g[(M_2 + x)- (M_1-x)]}{(M_2+x) + (M_1-x)}[/tex3]
[tex3]a = \frac{g(M_2 - M_1 + 2x)}{f \cdot (M_2 + m_1)} \,\,\,\,\,(2)[/tex3]

Dividindo (1) e (2):

[tex3]\frac{\frac{g(M_2 - M_1)}{(M_2 + M_1)}}{\frac{g(M_2 - M_1 + 2x)}{f \cdot (M_2 + M_1)}} = \frac{a}{a}[/tex3]
[tex3]\frac{f(M_2-M_1)}{M_2 - M_1 + 2x} = 1[/tex3]
[tex3]M_2 - M_1 + 2x = f(M_2 - M_1)[/tex3]
[tex3]2x = (f-1)(M_2-M_1)[/tex3]
[tex3]\boxed{x = \frac{(f-1)(M_2-M_1)}{2}}[/tex3]

b)

Olhando a fórmula e o enunciado vemos que o valor máximo de f ocorrerá quando passar toda a massa do balde [tex3]M_1[/tex3] para o balde [tex3]M_2[/tex3], ou seja, a massa [tex3]M[/tex3] citada no enunciado.

[tex3]M = \frac{(f-1)(M_2-M_1)}{2}[/tex3]

Resolvendo...

[tex3]\boxed{f_{max} = \frac{2M}{M_2 - M_1} + 1}[/tex3]

Grande abraço.

[emanuel9393MOD]

Genial!