Ensino Médio ⇒ diagonal no poligono Tópico resolvido

[mascara]

O polígono regular ABCDE... da figura a seguir mostra que duas diagonais BD e BE formam um ângulo de 20º. Determine o número de diagonais do polígono.

Sei a fórmula para calcular diagonais que é d= n(n-3)/2. Mas como acho o ângulo interno nesta figura?

[cajuADMIN]

Olá mascara,

Se é um polígono regular, é inscritível.

Ou seja, podemos mover o ângulo [tex3]\widehat{DBE}[/tex3] para o centro [tex3]O[/tex3] do círculo circunscrito e teremos o ângulo central [tex3]\widehat{EOD}[/tex3] que, por propriedade de ângulos centrais, vale o dobro do ângulo [tex3]\widehat{DBE}[/tex3] inscrito na circunferência.

Portanto, o ângulo central [tex3]\widehat{EOD}=40^{\circ}[/tex3].

Num polígono regular, o ângulo central [tex3]A_c[/tex3] é calculado por [tex3]A_c=\frac{360^\circ}{n}[/tex3], onde [tex3]n[/tex3] é a quantidade de lados do polígono. Sendo assim:

[tex3]A_c=\frac{360^\circ}{n}=40\,\,\rightarrow \,\,\boxed{n=9}[/tex3]

Agora aplicamos a fórmula que você mostrou para encontrar a quantidade de diagonais:

[tex3]d=\frac{9(9-3)}{2}=\boxed{\boxed{27}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[emanuel9393MOD]

teremos o ângulo central [tex3]\widehat{EOD}[/tex3] que, por propriedade de ângulos centrais, vale o dobro do ângulo [tex3]\widehat{DBE}[/tex3] inscrito na circunferência.

Olá, Caju!

Poderia demonstrar o que citou acima?


Um abraço!

[cajuADMIN]

Olá emanuel9393,

Seja a figura abaixo:

Screen Shot 2012-03-09 at 18.04.34.png (20.3 KiB) Exibido 3407 vezes

Temos o arco inscrito [tex3]\widehat{ABC}[/tex3] que mede [tex3]\alpha+\theta[/tex3] e seu respectivo arco central [tex3]\widehat{AOC}[/tex3] que queremos descobrir quanto mede.

Como os triângulos [tex3]AOB[/tex3] e [tex3]OCB[/tex3] são isósceles ([tex3]AO=OB=OC=[/tex3]raio), vemos que [tex3]\widehat{OAB}=\alpha[/tex3] e [tex3]\widehat{OCB}=\theta[/tex3].

Assim, fica fácil ver o valor dos ângulos [tex3]\widehat{AOB}=180^\circ-2\alpha[/tex3] e [tex3]\widehat{COB}=180^\circ-2\theta[/tex3].

Somando todos ângulos ao redor do centro O, devemos achar [tex3]360^\circ[/tex3]:

[tex3]180^\circ-2\alpha+180^\circ-2\theta+\widehat{AOC}=360^\circ\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\widehat{AOC}=2(\alpha+\theta)}[/tex3]

Ou seja, a medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central.

Só para constar, esta demonstração não é necessária em uma prova dissertativa onde fosse utilizada tal propriedade.

Grande abraço,
Prof. Caju