IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1989) Conjuntos Tópico resolvido

[fgarcia_84]

Sejam [tex3]A=\{x\in \mathbb{N}^* \text{ | }x \leq 1200\}[/tex3] e [tex3]B=\{y\in A \text{ | } y \text{ \acute{e} primo com } 1200\}.[/tex3] O número de elementos de [tex3]B[/tex3] é:

[tex3]\text{a) 270 b) 300 c) 320 d) 360 e) 420}[/tex3]

[italoemanuell]

Olá fgarcia_84!!

Resolver essa questão é equivalente a resolver essa:
*Seja o número [tex3]m=1200=2^4.3.5^2[/tex3].Quantos são os números inteiros positivos menores que m e primos com m?

Indiquemos o número pedido por [tex3]\phi(m)[/tex3] e consideremos os conjuntos e o diagrama abaixo:

• AD91.png

[tex3]E[/tex3]={1,2,3,...,m}
[tex3]E_1[/tex3]={[tex3]x \in E[/tex3] /x é múltiplo de 2}
[tex3]E_2[/tex3]={[tex3]x \in E[/tex3] /x é múltiplo de 3}
[tex3]E_1[/tex3]={[tex3]x \in E[/tex3] /x é múltiplo de 5}

Então,pelo príncipio de inclusão-exclusão,vem:
[tex3]\phi(m) = n(E)-n(E_1 U E_2 U E_3[/tex3])=[tex3]n(E)-n(E_1)-n(E_2)-n(E_3)+n(E_1 \cap E_2)+n(E_1\cap E_3)+n(E_2 \cap E_3)-n(E_1 \cap E_ \cap E_3)[/tex3].

Porém:
[tex3]n(E)=m=1200\\n(E_1)=\frac{m}{2}=600\\n(E_2)=\frac{m}{3}=400\\n(E_3)=\frac{m}{5}=240\\n(E_1\cap E_2)=\frac{m}{2.3}=200\\n(E_1\cap E_3)=\frac{m}{2.5}=120\\n(E_2\cap E_3)=\frac{m}{3.5}=80\\n(E_1\cap E_2 \cap E_3)=\frac{m}{2.3.5}=40[/tex3].

Logo,[tex3]\phi(m)[/tex3]=1200-600-400-240+200+120+80-40=320.

OBS:Se p é um fator do número m.Então,o número de múltiplos de p não superiores a m é [tex3]\frac{m}{p}[/tex3].De fato,os múltiplos de p não superiores a m são:p.1,p.2,p.3,p.4,...,p.[tex3]\frac{m}{p}[/tex3].

Resposta:C